结论：在劳动仲裁案件中，若您已委托律师且单位不肯支付赔偿，律师确实可以代为申请执行，但需满足一定条件并遵循法定程序。以下从多个角度为您详细分析：

一、律师申请执行的前提条件

1. 仲裁裁决已生效
   根据《劳动争议调解仲裁法》第五十条，劳动仲裁裁决书自作出之日起发生法律效力（若双方未在15日内起诉）。若单位未在法定期限内履行义务，律师可代为申请强制执行。

2. 您已委托律师全权代理
   若委托合同中明确授权律师“代为申请执行”，律师可直接向法院提交执行申请；若未明确授权，需您签署《授权委托书》补充授权。

二、律师申请执行的流程

1. 准备材料
   律师需准备以下文件：

   • 生效的仲裁裁决书原件及复印件；
     
   • 执行申请书（需写明申请人与被执行人信息、执行标的、事实与理由）；
     
   • 您的身份证明及授权委托书；
     
   • 单位财产线索（如银行账户、房产信息等，便于法院执行）。

2. 向法院提交申请
   律师会向单位所在地或财产所在地的基层法院提交申请，法院受理后会在5日内向单位发出《执行通知书》，责令其限期履行。

3. 法院执行措施
   若单位仍不履行，法院可采取以下措施：

   • 冻结、划拨单位银行账户资金；
     
   • 查封、扣押、拍卖单位财产（如设备、车辆）；
     
   • 限制单位高消费（如禁止乘坐飞机、高铁）；
     
   • 将单位纳入失信被执行人名单（影响其征信及招投标资格）。

三、特殊情况处理

1. 单位无财产可供执行
   若法院经调查发现单位确无财产（如账户无资金、无房产），会裁定“终结本次执行程序”。此时您可要求律师：

   • 申请恢复执行（若后续发现单位有财产）；
     
   • 追究单位股东或实际控制人的责任（如存在财产混同、抽逃出资等情形）。

2. 单位恶意转移财产
   若单位在仲裁期间或裁决后恶意转移财产（如低价转让资产），律师可代您向法院提起“债权人撤销权之诉”，要求撤销转移行为并追回财产。

四、您的配合义务

1. 提供财产线索
   您需尽可能向律师提供单位的财产信息（如银行账户、合作方名称），以便法院快速执行。

2. 及时沟通进展
   执行过程中，法院或律师可能会联系您补充材料或确认信息，您需保持通讯畅通，避免因信息延误影响执行效率。

五、法律风险提示

1. 执行期限
   根据《民事诉讼法》，法院执行期限一般为6个月，若超期未执行完毕，您可申请延长或向上级法院提级执行。

2. 执行费用
   执行费用由被执行人（单位）承担，但若单位无财产可执行，您可能需预先垫付部分费用（如评估费、拍卖费），后续从执行款中扣除。

建议：若您已委托律师，可主动与律师沟通执行进展，并配合提供财产线索。若单位仍拒不履行，律师可通过法律手段强制执行，最大限度保障您的权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询。