针对两位邻居老人因争执造成对方轻微伤的情况，法律处理方式主要依据《中华人民共和国治安管理处罚法》及《中华人民共和国民法典》的相关规定，具体处理如下：
行政处罚层面
根据《治安管理处罚法》第四十三条，殴打他人或故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或五百元以下罚款。
特殊情形：若双方均年满七十周岁，根据该法第二十一条，即使构成违反治安管理行为，也不执行行政拘留处罚，但仍可能面临罚款。
情节认定：若争执系因民间纠纷引发，且情节较轻，公安机关可调解处理。经调解达成协议并履行的，不予处罚；未达成协议或拒不履行的，依法处罚并告知当事人可就民事赔偿向法院起诉。
民事赔偿层面
根据《民法典》第一千一百七十九条，侵害他人造成人身损害的，应赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等合理费用，以及因误工减少的收入。
赔偿范围：包括但不限于：
刑事责任排除
轻微伤不构成《刑法》中的故意伤害罪（轻伤以上才达刑事立案标准），因此无需承担刑事责任。但若存在多次殴打、持械伤害等情节，可能涉嫌寻衅滋事罪，需结合具体行为认定。
建议：
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