结论前置：在借条未写明还款时间和担保期限，且债权人14年未主张权利的情况下，担保人的责任是否还存在，需根据保证方式（一般保证或连带责任保证）以及是否超过保证期间和诉讼时效来综合判断。
一、保证方式的确定与责任承担原则
保证方式的确定：
- 一般保证：若保证合同中明确约定，债务人不能履行债务时，由保证人承担责任，则为一般保证。
- 连带责任保证：若保证合同中约定，保证人和债务人对债务承担连带责任，则为连带责任保证。
- 约定不明或未约定：根据《民法典》的相关规定，若保证合同中对保证方式没有约定或约定不明确，按照一般保证承担保证责任。
责任承担原则：
- 无论保证方式如何，担保人都需在保证期间内承担相应的担保责任。但保证期间的长短和起算点，以及诉讼时效的适用，会因保证方式的不同而有所差异。
二、不同保证方式下的责任承担与诉讼时效
一般保证：
- 保证期间：若借条中未约定还款日期，债权人可随时要求债务人履行还款义务，但需给予必要准备时间。保证期间通常自债权人要求债务人履行债务的宽限期届满之日起计算，且一般保证的保证期间为主债务履行期届满之日起六个月（若未约定履行期，则从债权人要求债务人履行债务的宽限期届满之日起计算六个月）。
- 诉讼时效：对于未约定还款期限的借款，诉讼时效为三年，自权利人知道或应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。但在此情况下，由于债权人14年未主张权利，很可能已超过诉讼时效。然而，若债权人在保证期间内对债务人提起诉讼或申请仲裁，则诉讼时效中断，重新计算。
- 责任承担：若债权人在保证期间内未对债务人提起诉讼或申请仲裁，则保证人免除保证责任。由于债权人14年未主张权利，且未提及在保证期间内采取法律行动，因此一般保证人很可能已免除责任。
连带责任保证：
- 保证期间：连带责任保证的保证期间同样需根据合同约定或法律规定确定。若未约定，则保证期间为主债务履行期届满之日起六个月（若未约定履行期，则处理方式与一般保证相同）。
- 诉讼时效：与一般保证相同，诉讼时效为三年。但连带责任保证中，债权人可直接要求保证人承担责任，不受是否先向债务人主张权利的限制。
- 责任承担：若债权人在保证期间内未要求保证人承担保证责任，则保证人免除保证责任。由于债权人14年未主张权利，且未提及在保证期间内要求保证人承担责任，因此连带责任保证人也很可能已免除责任。
三、特殊情况与司法实践
- 宽限期的合理性：在实际案例中，法院会对债权人给予债务人的宽限期进行合理性审查。若宽限期过长或不合理，可能影响保证期间的起算和诉讼时效的计算。
- 诉讼时效的中断与重新计算：若债权人在诉讼时效期间内采取法律行动（如提起诉讼、申请仲裁等），则诉讼时效中断，重新计算。但在此案例中，由于债权人14年未主张权利，因此诉讼时效很可能已超过。
- 司法实践中的综合判断：法院在判断担保人责任时，会综合考虑保证方式、债权人是否主张权利、宽限期的给予、保证期间的计算以及诉讼时效等多个因素。因此，即使借条中未写明还款时间和担保期限，担保人的责任是否还存在，也需根据具体情况和司法实践来判断。
四、法律建议
- 对于债权人：在借款时，应明确约定还款日期和保证方式，并在保证期间内及时主张权利，以避免超过诉讼时效和保证期间而丧失胜诉权。
- 对于担保人：在提供担保时，应仔细阅读保证合同条款，了解自己的保证方式和责任范围，并在保证期间内关注债权人的主张情况，以维护自己的合法权益。
总结来说，在借条未写明还款时间和担保期限，且债权人14年未主张权利的情况下，担保人的责任很可能已因超过保证期间和诉讼时效而免除。但具体还需根据保证方式、债权人是否主张权利、宽限期的给予以及司法实践等因素来综合判断。如有具体法律问题，可直接向我咨询。