当遇到房东不签租房合同且违约不退租的情况时，作为租客，你可以通过以下详细且有条理的步骤来处理这一问题：

一、明确违约责任与法律依据

1. 审查情况：尽管房东未签书面合同，但口头约定或实际履行行为也可能构成租赁关系。首先，回顾你与房东之间的口头约定或实际履行情况，特别是关于租金、租期、退租条件等关键条款。
2. 了解法律：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，即使没有书面合同，只要双方实际履行了租赁行为，就形成了租赁关系。房东无故不退还房租或押金，可能构成违约行为，应当承担违约责任。

二、尝试协商解决

1. 主动沟通：第一时间与房东进行友好协商，表达你的诉求，即要求房东按照约定退还租金或押金。
2. 提出方案：根据实际情况，向房东提出合理的解决方案，如扣除部分合理费用后退还剩余租金等。同时，保持冷静和理性，避免情绪化交流。

三、寻求第三方调解或仲裁

1. 申请调解：若协商无果，你可以向当地人民调解委员会、居委会、物业公司或房屋租赁管理部门等第三方机构申请调解。这些机构通常具有丰富的调解经验，能够帮助双方找到合理的解决方案。
2. 考虑仲裁：如果双方在租赁关系中有过仲裁的约定，或者你愿意通过仲裁方式解决争议，可以向约定的仲裁机构申请仲裁。仲裁结果具有法律约束力，且通常比诉讼程序更为快捷。

四、收集证据并准备法律维权

1. 收集证据：在协商和调解过程中，注意收集相关证据，如支付房租的凭证、与房东的聊天记录、房屋状况照片或视频等。这些证据将在后续的法律程序中起到关键作用。
2. 发送催告函：若协商和调解均无果，你可以向房东发送催告函，正式要求其退还房租或押金，并告知其若在规定时间内未履行义务，将采取法律手段维护自身权益。
3. 提起诉讼：若房东仍拒绝退还房租或押金，你可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，积极配合法院的审理工作，提供必要的证据和信息。若法院最终判决支持你的诉讼请求，而房东仍不履行退款义务，你可以向法院申请强制执行。

五、考虑其他替代方案

1. 转租房屋：如果你因特殊原因需要提前解约且房东不同意退还房租，可以考虑在征得房东同意的情况下将房屋转租给第三人。这样既能减少自己的损失，也能避免与房东产生不必要的纠纷。但需注意，转租行为需符合当地法律法规和租赁关系的约定。
2. 寻求法律援助：如果你经济困难或法律知识匮乏，可以寻求法律援助机构的帮助。这些机构通常提供免费或低成本的法律咨询和代理服务，有助于你更好地维护自身权益。

在整个处理过程中，请确保所有行动均在法律框架内进行，避免采取过激行为导致自身陷入不必要的法律风险。同时，保留好所有与纠纷相关的文件和通信记录，以备不时之需。