结论：您方推搡对方致其摔倒在地肋骨断三根的行为是否构成犯罪以及是否会留下案底，取决于多个因素，包括对方的伤势鉴定结果、您方的行为是否构成正当防卫或防卫过当，以及司法机关的具体认定。以下我将从多个角度为您详细分析。
一、伤势鉴定结果的影响
轻伤与重伤的界定：
- 根据《人体损伤程度鉴定标准》，肋骨骨折的伤势鉴定需考虑骨折的数量、位置及是否伴有其他并发症。若对方肋骨断三根，但未伴有严重并发症，可能构成轻伤二级或一级；若伴有严重并发症，如血胸、气胸等，则可能构成重伤。
法律后果：
- 若构成轻伤：根据《刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。但在此情况下，若您方能证明自己的行为是出于防卫目的，且防卫行为未明显超过必要限度，可能不构成犯罪或构成防卫过当，从而减轻或免除处罚。
- 若构成重伤：同样根据《刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑。此时，若您方行为被认定为防卫过当，虽可能减轻处罚，但仍可能面临较重的刑事责任。
二、正当防卫与防卫过当的认定
正当防卫：
- 根据《刑法》第二十条，为了使国家、公共利益、本人或者他人的人身、财产和其他权利免受正在进行的不法侵害，而采取的制止不法侵害的行为，对不法侵害人造成损害的，属于正当防卫，不负刑事责任。
- 在您描述的情况下，若对方寻衅滋事并动手在先，您方为保护自己或他人的人身安全而推搡对方，若防卫行为未超过必要限度，可能构成正当防卫。
防卫过当：
- 正当防卫明显超过必要限度造成重大损害的，应当负刑事责任，但是应当减轻或者免除处罚。
- 在您描述的情况下，若您方推搡对方的行为导致对方肋骨断三根，且该行为明显超过了制止对方不法侵害所必需的限度，可能构成防卫过当。
三、司法机关的具体认定
证据收集与审查：
- 司法机关在认定此类案件时，会综合考虑双方的行为、伤势鉴定结果、现场监控录像、证人证言等证据。
- 您方应积极收集并保留相关证据，如现场照片、视频、证人联系方式等，以便在司法程序中证明自己的行为性质。
司法程序：
- 若对方报警并提起刑事诉讼，您方将面临司法机关的调查和审判。
- 在此过程中，您方有权委托律师进行辩护，以维护自己的合法权益。
四、关于案底的问题
案底的定义：
- 案底通常指的是犯罪记录，即因犯罪行为而受到刑事处罚后留下的记录。
是否留下案底：
- 若您方的行为被司法机关认定为犯罪并受到刑事处罚，将留下案底。
- 若您方的行为被认定为正当防卫或防卫过当但免除处罚，或经司法机关审查后认为不构成犯罪，则不会留下案底。
建议：鉴于此类案件的复杂性和敏感性，我建议您方在事件发生后立即报警并保留相关证据，同时积极寻求专业律师的帮助。律师将能够根据您的具体情况提供针对性的法律建议和辩护策略，以最大程度地维护您的合法权益。若您有任何法律问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。