若犯人在监狱里非正常死亡，家属可以通过以下步骤申请国家赔偿：

1. 确认死亡性质与责任主体
   首先需明确“非正常死亡”的具体情形（如刑讯逼供、暴力殴打、医疗事故、监管失职等），并确认监狱方是否存在过错或违法行为。根据《国家赔偿法》第十七条，若监狱工作人员在行使职权时存在侵犯公民生命健康权的行为（如殴打、虐待、违法使用武器等），或因监管失职导致犯人死亡，家属有权申请国家赔偿。

2. 收集关键证据
   家属需尽可能收集以下证据：

   • 死亡证明、尸检报告（需明确死因是否与监狱方行为有关）；
     
   • 监狱方的监控录像、值班记录、医疗记录等；
     
   • 同监室犯人的证人证言；
     
   • 其他能证明监狱方存在过错的材料（如书面投诉记录、医疗鉴定结论等）。
     若证据由监狱方掌握，家属可申请调取或通过法律程序要求其提供。

3. 向监狱管理机关提出赔偿申请
   根据《国家赔偿法》第九条，家属应先向监狱的管理机关（如省级监狱管理局）提出书面赔偿申请，并提交证据材料。申请需明确赔偿请求（如死亡赔偿金、丧葬费、精神损害抚慰金等）及事实理由。
   注意：申请期限为自知道或应当知道国家机关及其工作人员行使职权时的行为侵犯人身权之日起两年内。

4. 协商或复议程序

   • 协商：监狱管理机关收到申请后，若认可责任，可与家属协商赔偿金额及方式；
     
   • 复议：若协商未果，家属可向其上一级机关（如省级司法厅）申请复议，复议机关需在两个月内作出决定。

5. 向法院提起国家赔偿诉讼
   若复议结果仍不满意，家属可在收到复议决定之日起三个月内，向复议机关所在地的中级人民法院赔偿委员会申请作出赔偿决定。法院将依法审查证据，并作出终局裁决。

赔偿范围与标准
根据《国家赔偿法》第三十四条，赔偿范围包括：

• 死亡赔偿金：按上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍计算；
  
• 丧葬费：按国家职工丧葬费标准支付；
  
• 精神损害抚慰金：若造成严重后果，可酌情支付（但需以死亡赔偿金为前提，且总额不超过死亡赔偿金的35%）。

注意事项

• 若犯人自身存在过错（如自杀、自伤），或死亡与监狱方行为无直接因果关系，可能影响赔偿结果；
  
• 申请过程中建议家属委托律师协助，以确保程序合法、证据充分；
  
• 若监狱方涉嫌刑事犯罪（如故意伤害、虐待被监管人罪），家属可同时向公安机关报案，追究相关人员刑事责任。

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