犯人在被错误关押后申请国家赔偿期间死亡，若其死亡与司法机关或其工作人员的违法行为有直接关系，则家属有权申请国家赔偿；若死亡系因犯人自身疾病等正常原因，且司法机关已尽到合理救治和注意义务，则国家一般不承担赔偿责任。以下是对此问题的详细分析：
一、因司法机关行为导致死亡的情况
法律依据：
- 根据《中华人民共和国国家赔偿法》第十七条：“行使侦查、检察、审判职权的机关以及看守所、监狱管理机关及其工作人员在行使职权时有下列侵犯人身权情形之一的，受害人有取得赔偿的权利：…（四）刑讯逼供或者以殴打、虐待等行为或者唆使、放纵他人以殴打、虐待等行为造成公民身体伤害或者死亡的；…”。
赔偿义务机关：
- 若犯人的死亡是由于司法机关或其工作人员的违法行为导致的，赔偿义务机关为存在过错的司法机关。
赔偿方式及标准：
- 赔偿方式主要包括支付赔偿金。具体标准按照国家上年度职工年平均工资的二十倍计算死亡赔偿金，同时还应支付丧葬费。对死者生前扶养的无劳动能力的人，还应当支付生活费，生活费的发放标准参照当地最低生活保障标准执行。
二、因自身疾病等原因导致死亡的情况
一般原则：
- 如果犯人在羁押期间因自身突发重大疾病（如心脏病突发、脑溢血等）死亡，且司法机关已经尽到了合理的救治和注意义务，那么这种情况下通常属于正常死亡，国家不承担赔偿责任。
司法机关的义务：
- 司法机关在羁押期间有义务对犯人进行必要的医疗救治和看护。如果司法机关未尽到这些义务，导致犯人因得不到及时救治而死亡，那么司法机关可能需要承担相应的责任。但这种情况下的责任承担与因司法机关违法行为导致的死亡是不同的。
三、申请国家赔偿的程序及注意事项
申请程序：
- 家属应在知道或应当知道国家机关及其工作人员行使职权时的行为侵犯其人身权、财产权之日起两年内，向赔偿义务机关提出书面赔偿申请。
- 赔偿义务机关应在收到申请之日起两个月内，作出是否赔偿的决定。
注意事项：
- 家属在申请国家赔偿时，应提供充分的证据证明犯人的死亡与司法机关或其工作人员的违法行为有直接关系。
- 如果家属对赔偿义务机关的决定不服，可以在收到决定之日起三个月内向人民法院提起诉讼。
总结来说，犯人在被错误关押后申请国家赔偿期间死亡，其家属是否有权获得赔偿，取决于犯人的死亡原因。若因司法机关或其工作人员的违法行为导致死亡，则家属有权申请国家赔偿；若因自身疾病等正常原因死亡，且司法机关已尽到合理救治和注意义务，则国家一般不承担赔偿责任。如果遇到相关问题，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助。