在故意杀人案件中，当罪犯被判处死刑时，其对被害人家属的赔偿责任并不会因此而免除。以下是对被害人家属如何申请赔偿的详细解答：
一、赔偿的必要性与原则
首先，要明确的是，即使罪犯被判处死刑，他仍然需要承担对被害人家属的民事赔偿责任。这是基于《中华人民共和国民法典》及相关司法解释的明确规定，旨在弥补被害人家属因犯罪行为所遭受的物质损失和精神损害。
二、赔偿项目与计算标准
被害人家属可以申请的赔偿项目主要包括：
丧葬费：按照受诉法院所在地上一年度职工月平均工资标准，以六个月总额计算。
被扶养人生活费：如果被害人生前有需要扶养的人（如未成年子女、无劳动能力的父母等），这部分费用会根据扶养人丧失劳动能力程度，按受诉法院所在地上一年度城镇居民人均消费支出标准计算，具体年限根据被扶养人的年龄和状况确定。
死亡赔偿金：按受诉法院所在地上一年度城镇居民人均可支配收入标准，按二十年计算，并根据受害者年龄进行相应调整。
精神损害抚慰金：这部分费用会综合考虑侵权人的过错程度、侵权行为后果及当地平均生活水平等因素确定。
其他合理费用：包括办理丧葬事宜支出的交通费、住宿费和误工损失等，但需要有相关票据或证据证明。
三、赔偿主体
赔偿的主体主要包括：
罪犯本人：其个人财产是赔偿的主要来源。
连带赔偿责任人：在某些情况下，如教唆者、帮助者及未成年罪犯的监护人等，可能需承担连带赔偿责任。
四、赔偿流程
被害人家属可以通过以下两种方式申请赔偿：
刑事附带民事诉讼：在刑事诉讼过程中提出赔偿请求，法院会同时审理并作出判决。这种方式可以节省时间和诉讼成本。
单独提起民事诉讼：如果刑事案件已经审结，被害人家属可以单独提起民事诉讼来要求赔偿。这种方式可以要求精神损害赔偿，但需要注意诉讼时效。
五、执行问题
在赔偿判决作出后，执行是一个关键问题。如果罪犯有可供执行的财产，法院将依法执行以支付赔偿。即使罪犯被执行死刑，其遗产仍可用于赔偿被害人家属的损失。如果罪犯无财产或财产不足以支付全部赔偿，法院可能裁定终结本次执行程序。但一旦发现可执行财产，被害人家属可以申请恢复执行。
六、建议
故意杀人判死刑后的赔偿问题复杂而敏感，需要根据具体情况具体分析。因此，建议被害人家属在遇到此类问题时，尽快咨询专业律师以获取详细的法律建议和帮助。律师可以提供专业的法律意见，协助被害人家属制定合理的赔偿策略，并确保其合法权益得到有效维护。
希望以上解答能够帮助您更好地理解故意杀人案件中被害人家属如何申请赔偿的问题。如果您还有其他疑问或需要进一步的帮助，请随时咨询。