结论：商家将手机卖给13岁小孩且手机已被激活后拒绝退货的行为，可能涉及违法，家长有权要求商家退货退款，并可根据情况要求商家承担相应责任。
分析说明：
未成年人交易的法律效力：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，八周岁以上的未成年人为限制民事行为能力人，实施民事法律行为由其法定代理人代理或者经其法定代理人同意、追认。在此案例中，13岁的小孩属于限制民事行为能力人，其购买手机的行为若未经家长同意或追认，则该交易行为在法律上可能被视为无效或可撤销。
商家的责任与义务：
- 商家在销售商品时，有义务对购买者的年龄和民事行为能力进行合理审查，特别是对于高价商品如手机等。若商家未尽到审查义务，将手机销售给限制民事行为能力人，且未经其法定代理人同意或追认，则商家可能构成违法或违约。
- 既然手机已被激活，这通常意味着交易已经完成，但考虑到购买者的民事行为能力问题，家长仍有权要求商家退货退款。商家若拒绝，则可能面临法律纠纷和相应的法律责任。
家长的权利与救济途径：
- 家长作为未成年人的法定代理人，有权对未成年人的民事法律行为进行追认或拒绝追认。在此案例中，家长可以拒绝追认小孩购买手机的行为，并要求商家退货退款。
- 若商家拒绝退货退款，家长可以通过与商家协商、向消费者协会投诉、向市场监督管理部门举报或提起民事诉讼等途径来维护自己的合法权益。
行动建议：
- 与商家协商：首先，家长可以尝试与商家进行友好协商，说明情况并要求退货退款。在协商过程中，保持冷静和理性，明确表达自己的诉求和理由。
- 寻求第三方帮助：若协商无果，家长可以向当地的消费者协会或市场监督管理部门投诉或举报商家的违法行为。这些机构通常会提供调解或调查服务，帮助家长维护自己的权益。
- 提起民事诉讼：若其他途径均无法解决问题，家长可以考虑向法院提起民事诉讼，要求商家承担退货退款等法律责任。在诉讼过程中，家长需要准备充分的证据来支持自己的诉求。
后续思考：
- 在此案例中，家长应加强对未成年子女的教育和监管，避免类似情况再次发生。同时，家长也应了解相关法律法规和消费者权益保护知识，以便在遇到类似问题时能够更好地维护自己的合法权益。
- 商家在销售商品时也应加强审查义务，特别是对于高价商品和限制民事行为能力人的购买行为。通过加强内部管理、提高员工法律意识等方式来降低法律风险。
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