未成年购买手机并激活后，是否可以要求退款，需根据未成年人的年龄及购买行为是否获得监护人同意来综合判断。以下从不同角度进行分析：
一、未成年人的年龄因素
八周岁以下的未成年人：
- 根据《民法典》的规定，八周岁以下的未成年人是无民事行为能力人，他们实施的民事法律行为无效。因此，如果八周岁以下的未成年人购买手机并激活，这一购买行为是无效的，家长（监护人）有权要求商家退款。
八周岁以上但未满十八周岁的未成年人：
- 这类未成年人是限制民事行为能力人，他们实施的民事法律行为，如果与其年龄、智力相适应，则是有效的；但如果超出了其年龄、智力范围，则需要经法定代理人（通常是家长）同意或追认后才有效。
- 购买手机这一行为，对于八周岁以上但未满十八周岁的未成年人来说，通常超出了其年龄、智力范围，因此需要家长同意或追认。如果家长不同意或未追认，那么购买行为无效，家长可以要求商家退款。
二、购买行为是否获得监护人同意
- 如果未成年人在购买手机时，已经获得了监护人的明确同意，那么这一购买行为就是有效的，商家无需退款。
- 如果未成年人在购买手机时，未获得监护人的同意，且监护人事后也未追认，那么这一购买行为无效，监护人有权要求商家退款。
三、实际操作中的注意事项
保留证据：
- 家长在要求退款时，应保留好相关证据，如购买凭证、手机激活记录、与商家的沟通记录等，以便在需要时证明购买行为未经监护人同意或追认。
与商家协商：
- 家长应首先尝试与商家协商解决退款问题。如果商家同意退款，那么问题就得到了解决；如果商家不同意退款，家长可以考虑采取其他法律手段。
寻求法律帮助：
- 如果与商家协商无果，家长可以寻求法律帮助，比如向消费者协会投诉、向法院提起诉讼等。在法律程序中，家长需要提供充分的证据来证明自己的主张。
总结来说，未成年购买手机并激活后是否可以要求退款，需根据未成年人的年龄及购买行为是否获得监护人同意来判断。如果购买行为无效或未经监护人同意，家长有权要求商家退款。在实际操作中，家长应保留好相关证据，并与商家协商解决退款问题；如果协商无果，可以寻求法律帮助。如果您有进一步的法律问题或需要更具体的法律建议，请直接向我咨询。