结论：敬老院员工没做错事而被院长开除，这一行为是否合理，需根据具体情况判断，但通常情况下，若无合法理由，该开除行为是不合理的，可能构成违法解除劳动合同。

分析如下：

1. 劳动合同法的相关规定：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者解除劳动合同，应当遵循合法、公平、平等自愿、协商一致、诚实信用的原则，并且需要符合法律规定的情形。
   • 若员工没有违反公司规章制度、没有严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害、没有同时与其他用人单位建立劳动关系对完成本单位的工作任务造成严重影响或经用人单位提出拒不改正、没有以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同致使劳动合同无效、没有被依法追究刑事责任等情形，用人单位不得随意解除劳动合同。

2. 无过错开除的合法性：

   • 如果敬老院员工确实没有做错任何事，即没有违反上述法律规定的任何情形，那么院长无合法理由将其开除，就可能构成违法解除劳动合同。
   • 违法解除劳动合同的，员工有权要求用人单位继续履行劳动合同，或者要求用人单位按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。

3. 实际操作中的建议：

   • 对于员工而言，如果遭遇无过错被开除的情况，首先应当与用人单位进行协商，要求用人单位说明开除的理由，并尝试通过协商解决问题。
   • 如果协商无果，员工可以向当地的劳动争议调解委员会申请调解，或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁裁决不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
   • 在整个过程中，员工应当保留好相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录、开除通知等，以便在需要时证明自己的权益。

4. 特殊情况考虑：

   • 当然，也存在一些特殊情况，如用人单位因经营困难、业务调整等原因需要裁员，但这种情况也需要遵循法律规定的程序和条件，不能随意开除员工。
   • 如果院长开除员工的行为是基于某些特殊原因，但这些原因并不符合法律规定的解除劳动合同的情形，或者没有按照法律规定的程序进行，那么该开除行为仍然可能是不合理的。

后续行动建议：

• 如果你作为敬老院员工遭遇了无过错被开除的情况，建议你首先与用人单位进行协商，了解开除的具体原因，并尝试通过协商解决问题。
• 如果协商无果，你可以向当地的劳动争议调解委员会或劳动争议仲裁委员会寻求帮助，以维护自己的合法权益。
• 在整个过程中，务必保留好相关证据，以便在需要时证明自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。