结论前置：在城镇公益性岗位期间兼职被发现后，为避免被清退，关键在于理解并遵守相关规定，同时采取积极措施消除不良影响。以下是从不同角度给出的具体建议：
了解并遵守公益性岗位的相关规定：
- 公益性岗位性质：公益性岗位通常是由政府出资或社会筹集资金开发的，旨在满足社区及居民公共利益而设立的就业岗位。这些岗位往往有一定的特殊性和限制性，如工作时间、工作内容、兼职限制等。
- 兼职限制：根据相关规定，公益性岗位人员一般不得从事其他兼职工作，以确保其能够全身心地投入到公益性岗位的工作中。因此，在兼职前，应仔细阅读并理解公益性岗位的相关规定，确保自己的行为不违反这些规定。
主动沟通并说明情况：
- 被发现后的应对：一旦兼职行为被发现，应立即主动与所在单位或相关部门进行沟通，如实说明兼职的情况，包括兼职的时间、性质、收入等。
- 表达态度：在沟通中，应表达自己对公益性岗位工作的重视和承诺，以及兼职行为并未影响本职工作的态度。同时，可以提出自己已经主动辞去兼职，并承诺今后将严格遵守相关规定。
采取积极措施消除不良影响：
- 提交书面说明：为了更正式地表达自己的态度和承诺，可以提交一份书面说明，详细阐述兼职的情况、原因、已采取的措施（如辞去兼职）以及今后的打算。
- 加强工作表现：在接下来的工作中，应更加努力地表现自己，提高工作效率和质量，以实际行动证明自己的价值和承诺。
了解可能的法律后果：
- 清退风险：如果兼职行为严重违反了公益性岗位的相关规定，且未采取积极措施进行纠正，那么确实存在被清退的风险。
- 其他后果：除了清退外，还可能面临其他后果，如影响个人信用记录、限制未来参与公益性岗位的机会等。因此，应认真对待这一问题，避免产生不必要的法律后果。
寻求法律支持（如需）：
- 咨询律师：如果对公益性岗位的相关规定或兼职行为的法律后果存在疑问或担忧，可以寻求专业律师的法律支持。律师可以根据具体情况提供法律意见和建议，帮助你更好地应对这一问题。不过，就目前的情况来看，如果已经主动辞去兼职并采取了积极措施，通常不需要立即寻求法律支持。但为了以防万一，了解相关法律知识也是有益的。
额外建议：为了避免类似情况再次发生，建议在未来的工作中更加谨慎地处理个人事务与工作之间的关系。如果确实需要兼职或从事其他活动，应提前了解并遵守相关规定，确保自己的行为合法合规。同时，也可以考虑与所在单位或相关部门进行沟通，寻求他们的理解和支持。
最后，如果你有任何关于劳动工伤（劳动仲裁）或其他法律领域的问题，都可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况提供专业的法律意见和建议。