结论：员工在提起劳动仲裁时未主张公司赔偿生育津贴，在一定条件下可以再次提起仲裁要求公司赔偿。这主要取决于是否符合法律规定的条件，包括时效问题、一事不再理原则以及是否存在新的事实或理由等。
一、法律依据与基本原则
根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的相关规定，劳动仲裁是解决劳动争议的法定方式，其裁决具有法律效力。同时，该法并未明确禁止劳动者在仲裁后基于新的事实或理由再次提起仲裁。因此，从法律原则上讲，员工在特定条件下有权再次提起仲裁要求公司赔偿生育津贴。
二、再次仲裁的条件
时效问题：
- 劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，自当事人知道或应当知道权利被侵害之日起计算。若员工在提起首次仲裁时未主张生育津贴，但在一年内发现了新的证据或事实，且该证据或事实与生育津贴的赔偿有关，则可以在时效期内再次提起仲裁。
一事不再理原则：
- 若前后两次仲裁请求基于相同的基础事实、法律关系等，可能因违反一事不再理原则而不被受理。但如员工能提供新发生的事实或理由（如新证据证明公司应支付生育津贴），则可能受理并审理。
新的事实或理由：
- 员工在首次仲裁后，若发现了新的证据或事实，这些证据或事实能够证明公司应支付生育津贴，且该证据或事实在首次仲裁时未被提及或考虑，则员工可以基于这些新的事实或理由再次提起仲裁。
三、实际操作与建议
全面准确提出诉求：
- 员工在申请劳动仲裁时，应尽可能全面、准确地提出诉求和理由，避免遗漏导致后续纠纷。若首次仲裁时未主张生育津贴，应仔细分析原因，并在必要时咨询专业律师，了解再次提起仲裁的可行性和风险。
及时收集证据：
- 员工在发现新的事实或理由后，应及时收集相关证据，如劳动合同、工资流水、生育证明、公司政策文件等，以确保再次仲裁申请的顺利进行。这些证据应能够证明公司应支付生育津贴的事实和金额。
尊重仲裁与法院判决：
- 若员工对仲裁裁决或法院判决不服，应通过合法途径寻求救济，如提起诉讼或申请再审等。避免采取过激行为或非法手段来维护自己的权益。
四、可能的法律后果
- 若员工符合再次提起仲裁的条件，且证据充分、理由正当，则有可能获得仲裁庭的支持，要求公司赔偿生育津贴。
- 若员工不符合再次提起仲裁的条件，或证据不足、理由不充分，则可能面临仲裁庭不予受理或驳回申请的风险。
总结：员工在提起劳动仲裁时未主张公司赔偿生育津贴，并不意味着完全丧失再次申请的机会。在符合法律规定的条件下，员工仍有权基于新的事实或理由再次申请仲裁要求公司赔偿生育津贴。因此，在实际操作中，员工应充分了解相关法律规定和程序要求，确保自身权益得到有效维护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。