根据我国《劳动合同法》相关规定，您有权主张未签订书面劳动合同的双倍工资差额及违法解除劳动合同的赔偿金，具体分析如下：

1. 未签订书面劳动合同的双倍工资差额
   根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付2倍工资。您工作10天未满1个月，虽不直接适用双倍工资条款，但可主张用人单位存在未及时签订合同的过错，在后续维权中作为协商筹码或证据补充。

2. 违法解除劳动合同的赔偿金
   若用人单位无法证明辞退理由合法（如您存在严重违纪、不能胜任工作等情形），则构成违法解除。根据《劳动合同法》第47、87条，您可主张赔偿金=工作年限×月工资×2。由于您工作不满6个月，赔偿金为半个月工资的2倍，即1个月工资（例如月工资5000元，则赔偿5000元）。

3. 其他可主张的权利

   • 工资结算：用人单位需全额支付10天工资，不得克扣。
     
   • 社保补缴：虽工作仅10天，但用人单位仍需为您补缴工作期间的社会保险。
     
   • 加班费：若存在加班情形，可主张加班费（需提供考勤记录等证据）。

操作建议：

1. 收集证据：保留工资条、考勤记录、工作证、辞退通知等证明劳动关系及辞退事实的材料；
   
2. 协商解决：与用人单位沟通，要求支付工资、赔偿金并补缴社保；
   
3. 申请仲裁：若协商无果，可向当地劳动仲裁委员会申请仲裁（时效1年），主张上述权利。
   

温馨提示：劳动争议案件中，用人单位通常需承担举证责任，但您仍需尽量提供初步证据。如有疑问，可直接向我咨询具体操作细节。