结论：私生儿女被别人抱养后，其生母意外在世的情况下，孩子是否具有继承权需分情况讨论，关键在于是否形成了合法的收养关系。
若形成了合法的收养关系：
- 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》中关于收养的规定，一旦收养关系依法成立，被收养人与生父母以及其他近亲属间的权利义务关系，因收养关系的成立而消除。这意味着，被收养的孩子在法律上将视为收养人的子女，与生父母不再具有法律上的亲子关系。
- 继承权分析：在此情况下，由于被收养的孩子与生母之间的法律关系已经消除，因此孩子通常不享有对生母遗产的继承权。继承权将依据法定继承或遗嘱继承的规定，在收养人的家庭内部进行分配。
若未形成合法的收养关系：
- 法律背景：如果抱养行为并未依法办理收养登记手续，或者不符合收养法的其他规定，那么收养关系可能不被法律认可。在这种情况下，被收养的孩子与生母之间的法律关系可能仍然存在。
- 继承权分析：若收养关系未被法律认可，孩子作为生母的非婚生子女，仍然享有与婚生子女同等的继承权。这意味着，在生母去世后，孩子有权参与遗产的分配，其继承权受法律保护。
法律建议：
- 对于涉及收养和继承的问题，建议首先确认收养关系的合法性。如果收养关系已经依法成立，那么被收养的孩子将不再享有对生母遗产的继承权；如果收养关系未被法律认可，孩子则可能享有继承权。
- 在处理此类纠纷时，建议咨询专业律师，以便更准确地了解法律条款和司法实践，从而维护自己的合法权益。
可能的法律后果：
- 如果收养关系合法，被收养的孩子将无法继承生母的遗产，这可能导致家庭内部的财产分配发生变化。
- 如果收养关系不合法，孩子可能享有继承权，但这也可能引发家庭内部的争议和纠纷。因此，在处理此类问题时，应谨慎对待，并寻求法律专业人士的帮助。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。