结论：员工未开具医院病假条，公司能否据此解除劳动合同或采取其他措施，需视具体情况而定，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、公司规章制度的角度
规章制度合法性：如果公司规章制度中明确规定，员工请病假必须提供医院出具的病假条，且该规章制度已经过民主程序制定、公示并告知员工，那么该规章制度具有法律效力。在此情况下，员工未提供病假条，公司有权依据规章制度进行处理。
处理措施：根据规章制度的严重程度，公司可以采取不同的处理措施。如果规章制度规定未提供病假条视为旷工，且旷工达到一定天数可以解除劳动合同，那么公司有权在员工未提供病假条且旷工达到规定天数时解除劳动合同。但需要注意的是，解除劳动合同必须符合法定程序，如提前通知工会、告知员工解除理由等。
二、劳动法的角度
病假权利：根据《劳动法》及相关规定，员工因病或非因工负伤需要停止工作医疗时，有权享受病假待遇。这是员工的法定权利，公司不得剥夺。
病假证明：虽然法律没有明确规定员工请病假必须提供医院出具的病假条，但通常实践中，为了证明病假的真实性，员工需要提供医院出具的病假证明。如果员工确实因病需要休息，但因特殊原因无法及时提供病假条，公司应给予一定的宽限期或要求员工后续补交。
解除劳动合同的限制：根据《劳动合同法》的规定，公司解除劳动合同必须符合法定条件，如员工严重违反公司规章制度、严重失职给公司造成重大损害等。如果员工仅因未提供病假条而被解除劳动合同，且该行为并未达到严重违反规章制度的程度，那么公司的解除行为可能构成违法解除，需要承担相应的法律责任。
三、实际操作建议
沟通协商：在员工未提供病假条的情况下，公司应首先与员工进行沟通协商，了解员工未提供病假条的原因。如果员工确实因病需要休息，但因特殊原因无法及时提供病假条，公司可以要求员工后续补交或提供其他证明材料。
依据规章制度处理：如果员工无正当理由未提供病假条，且公司规章制度中有相关规定，公司可以依据规章制度进行处理。但处理时必须确保规章制度的合法性、合理性以及处理程序的正当性。
避免违法解除：公司在处理员工未提供病假条的情况时，应避免直接解除劳动合同，除非该行为已经构成严重违反公司规章制度或符合其他法定解除条件。否则，公司可能面临违法解除的法律风险。
总结：员工未开具医院病假条，公司能否据此解除劳动合同或采取其他措施，需根据公司的规章制度、劳动法的相关规定以及实际情况进行综合判断。在处理此类问题时，公司应保持谨慎态度，确保处理措施的合法性和合理性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。