在试用期表现不佳且不予转正的情况下，用人单位确实需要提供相应的证明来支持其决定。这主要是基于《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，以及确保劳动关系的公平、公正处理。
首先，我们要明确的是，试用期是用人单位和劳动者双方相互了解、选择的过程。在这个期间，如果劳动者被证明不符合录用条件，用人单位是有权解除劳动合同的，但这必须建立在有充分证据的基础上。
关于需要提供的证明：
录用条件的具体描述：用人单位需要明确列出该岗位的录用条件，这通常会在招聘公告、劳动合同或者员工手册中有所体现。这些条件应该具体、明确，并且与岗位的实际需求紧密相关。
劳动者不符合录用条件的证据：这可能包括劳动者在试用期内的绩效考核结果、工作表现记录、培训记录、同事或上级的评价等。这些证据需要能够客观、公正地反映劳动者在试用期内的表现，并且与录用条件进行对比，证明劳动者确实不符合录用要求。
解除劳动合同的程序合规性：用人单位在解除劳动合同时，需要遵循一定的程序，比如提前通知劳动者、听取劳动者的申辩意见等。虽然试用期内解除劳动合同的程序相对简单，但仍然需要确保程序的合规性，以避免可能的法律纠纷。
如果用人单位没有提供充分证据：
如果用人单位在没有提供充分证据的情况下，就以劳动者试用期内表现不佳为由不予转正或解除劳动合同，那么劳动者是有权向劳动仲裁机构提起仲裁，要求用人单位支付违法解除劳动合同的赔偿金的。这就像您提到的案例中，仲裁委支持了吴某的仲裁请求，因为用人单位未能提供充分的证据来证明吴某不符合录用条件。
建议：
对于劳动者来说，如果在试用期内遇到类似情况，首先应该与用人单位进行沟通，了解具体的不符合录用条件的原因，并尝试提供自己的解释或改进方案。如果沟通无果，劳动者可以保留相关证据，如工作记录、绩效考核结果等，以备不时之需。同时，劳动者也可以咨询专业的法律人士，了解自己的权益和可能的维权途径。
对于用人单位来说，为了避免类似的法律纠纷，应该在招聘时就明确录用条件，并在试用期内建立完善的考核机制，确保能够客观、公正地评价劳动者的表现。如果确实需要解除劳动合同，也应该确保有充分的证据来支持自己的决定，并遵循合规的程序进行操作。