核心结论：车压住狗狗后逃离现场，狗主人可采取以下措施处理，具体分为民事赔偿、刑事责任（视情况）、行政处罚三个方向，需结合实际情况选择合适途径。

1. 民事赔偿：主张侵权责任

根据《中华人民共和国民法典》第1245条，饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或管理人应承担侵权责任。但若车辆驾驶人因过错导致狗狗受伤（如未观察路况、违规驾驶等），则构成“过错侵权”，狗主人可要求驾驶人赔偿医疗费、误工费（若需照顾狗狗）、狗狗自身价值损失（如死亡或严重伤残）等。

操作建议：

• 立即报警并保留现场证据（如监控录像、目击者联系方式）；
• 记录车辆信息（车牌号、车型、颜色）及驾驶人特征；
• 送狗狗就医并保存医疗记录、费用票据；
• 与驾驶人协商赔偿，协商不成可向法院起诉，主张侵权责任。

2. 刑事责任：视情节是否构成“交通肇事逃逸”

若狗狗属于有主物且价值较高（如纯种犬、名贵犬），或驾驶人明知压到动物却逃离现场，可能涉嫌《中华人民共和国刑法》第133条“交通肇事罪”的逃逸情节（需以造成严重后果为前提，如狗狗死亡且驾驶人负主责）。但实践中，单纯压到动物未造成人员伤亡的，通常不构成刑事犯罪，但逃逸行为可能加重民事赔偿责任。

操作建议：

• 向公安机关报案，说明驾驶人逃逸情节；
• 提供证据证明狗狗价值（如购买凭证、血统证书）；
• 若公安机关认定逃逸，可要求对驾驶人行政处罚（如罚款、扣分），并作为民事赔偿的加重情节。

3. 行政处罚：举报驾驶人违规行为

若驾驶人存在违反交通法规的行为（如超速、未礼让行人/动物、无证驾驶等），可向交警部门举报，要求对其行政处罚（如罚款、扣分、吊销驾照）。虽行政处罚不直接赔偿损失，但可督促驾驶人承担民事责任。

操作建议：

• 收集驾驶人违规证据（如监控录像、行车记录仪）；
• 向交警部门提交举报材料，要求调查处理；
• 将行政处罚结果作为民事诉讼的辅助证据。

补充说明

• 狗狗价值认定：若狗狗死亡或伤残，需通过市场评估、购买凭证等证明其价值，避免口头主张无依据；
• 责任划分：若狗主人未牵绳或放任狗狗在车行道活动，可能被认定存在过错，需自行承担部分责任（如按过错比例分担损失）；
• 保险理赔：若驾驶人购买了第三者责任险，可联系保险公司协商理赔，但需注意保险条款是否覆盖动物损伤。

总结：狗主人应优先固定证据、报警并协商赔偿，若协商无果可起诉主张侵权责任；同时可举报驾驶人违规行为，推动行政处罚以增加赔偿筹码。具体操作需结合案件细节，如有疑问可直接向我咨询。