结论：在此情况下，员工休息在家骑车摔倒导致脑出血，一般不能直接向公司申请工伤赔偿，因为该情形通常不符合工伤认定的标准。但员工仍可考虑其他途径来寻求可能的赔偿或救助。
详细分析：
工伤认定的标准：
- 根据《工伤保险条例》的规定，工伤通常指的是在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害，或者工作时间前后在工作场所内，从事与工作有关的预备性或者收尾性工作受到事故伤害等情形。
- 在您描述的情况中，员工是在休息时间、在家中骑车摔倒导致脑出血，这并不符合上述工伤认定的标准。因此，从工伤的角度来看，员工难以直接向公司申请赔偿。
非工伤情况下的赔偿途径：
- 医疗保险：如果员工参加了社会医疗保险或商业医疗保险，可以依据保险合同的约定，向保险公司申请医疗费用的报销。
- 意外伤害保险：虽然公司没有为员工购买意外伤害险，但如果员工自己购买了此类保险，同样可以依据保险合同向保险公司申请赔偿。
- 民事侵权赔偿：如果员工摔倒的原因与他人的过错有关（如道路设计缺陷、他人碰撞等），员工还可以考虑向相关责任方提起民事侵权诉讼，要求赔偿医疗费用、误工费等损失。
公司责任与义务：
- 公司虽然没有为员工购买意外伤害险，但这并不直接构成公司对员工受伤的赔偿责任。公司的责任主要限于提供安全的工作环境、遵守劳动法律法规等。
- 如果公司存在违反劳动法律法规的行为（如未提供必要的安全防护措施、未安排合理的休息时间等），且这些行为与员工受伤之间存在因果关系，那么公司可能需要承担相应的法律责任。但在您描述的情况中，并未提及公司存在此类违法行为。
建议与行动：
- 员工应首先了解自己的医疗保险和意外伤害保险情况，及时向保险公司申请报销或赔偿。
- 如果员工认为摔倒的原因与他人的过错有关，可以收集相关证据，考虑向相关责任方提起民事侵权诉讼。
- 员工也可以与公司沟通，了解公司是否愿意提供一定的帮助或支持（如提供医疗证明、协助申请相关救助等），但这并非公司的法定义务。
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