结论：休息日死亡，公司是否承担责任需视具体情况而定，主要取决于死亡原因、公司是否存在过错以及是否符合工伤认定条件等因素。以下从不同角度进行详细分析：
一、若死亡原因与工作无关，且公司无过错
法律背景：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，公司对员工在休息日发生的非因工作原因导致的死亡，一般不承担民事赔偿责任，除非公司存在过错或未尽到安全保障义务。
分析说明：
- 如果员工在休息日因个人原因（如疾病、意外等）死亡，且公司对此无过错，也未违反任何安全保障义务，那么公司通常不需要承担法律责任。
二、若死亡原因与工作有关，或公司存在过错
法律背景：
- 根据《工伤保险条例》第十五条，职工有下列情形之一的，视同工伤：…（一）在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡的；…。虽然此条款主要针对工作时间和工作岗位，但若休息日死亡与工作有直接关联（如加班后休息日突发疾病且与工作劳累有关），或公司存在明显过错（如未提供必要的安全保障措施），则可能构成工伤或公司需承担相应责任。
- 另外，如果公司未依法为员工缴纳工伤保险费，员工发生工伤的，由公司按照工伤保险待遇项目和标准支付费用。
分析说明：
- 工伤认定：若员工在休息日死亡与工作有直接关联，且符合工伤认定的其他条件（如突发疾病与工作劳累有关），则可能被认定为工伤，公司需承担相应的工伤保险责任。
- 公司过错：如果公司存在过错，如未提供必要的安全保障措施、未及时进行救援等，导致员工在休息日死亡，公司可能需要承担民事赔偿责任。
三、特殊情况：员工在休息日加班后死亡
法律背景：
- 若员工在休息日加班后死亡，且死亡原因与加班有直接关联（如过度劳累导致的心脏病发作等），则可能构成工伤。
分析说明：
- 在这种情况下，公司需承担工伤保险责任，包括支付丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等。同时，如果公司未依法安排员工休息或未支付加班费，还可能面临行政处罚或民事赔偿等法律责任。
四、建议与措施
对于公司：
- 应依法为员工缴纳工伤保险费，确保员工在发生工伤时能够得到及时的救治和赔偿。
- 加强安全管理，提供必要的安全保障措施，预防员工在工作和休息过程中发生意外。
- 合理安排员工的工作和休息时间，避免过度劳累导致健康问题。
对于员工：
- 应了解自己的权益和义务，及时与公司沟通工作安排和休息时间等问题。
- 在发生工伤或意外时，及时向公司报告并寻求法律援助或咨询专业律师以维护自己的合法权益。
总结：休息日死亡公司是否承担责任需视具体情况而定。如果死亡原因与工作无关且公司无过错，则公司通常不需要承担责任；如果死亡原因与工作有关或公司存在过错，则公司可能需要承担工伤责任或民事赔偿责任。如有具体法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。