针对您提出的“退休人合同到期后怎么办”的问题，这确实是一个涉及劳动法规定及实际操作的重要议题。以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，根据《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第二十一条的规定，劳动者达到法定退休年龄的，劳动合同终止。这一规定是明确的，且在全国范围内具有普遍适用性。这意味着，一旦劳动者达到法定退休年龄，无论其是否已经开始享受养老保险待遇或领取退休金，其与用人单位之间的劳动合同关系都将自然终止。
然而，在实际操作中，我们还需要考虑一些特殊情况。例如，如果劳动者虽然达到了法定退休年龄，但由于某些原因（如社保缴费年限不足、档案丢失等）无法享受养老保险待遇或领取退休金，那么其与用人单位之间的劳动关系是否仍然存在呢？
对于这一问题，司法实践中通常会有两种处理方式：
如果因用人单位的原因导致劳动者未依法享受基本养老保险待遇或未领取退休金的，如用人单位不依法为劳动者缴纳养老保险费、丢失劳动者档案等，那么用人单位不得随意终止劳动关系。在这种情况下，如果用人单位强行终止劳动关系，可能需要向劳动者支付赔偿金。
如果非因用人单位的原因劳动者未依法享受基本养老保险待遇或未领取退休金的，如劳动者社保缴费年限不足、个人原因导致无法办理退休手续等，那么双方的劳动关系在劳动者达到退休年龄时自然终止。在这种情况下，用人单位可以终止与劳动者的劳动关系，且不需要支付赔偿金。
以您提供的两个案例为例：
在第一个案例中，周某虽然达到了法定退休年龄，但学校因其已按时发放工资并考虑到教育行业的特殊性，继续支付了其至本学期末的劳务费。然而，从法律角度来看，周某与学校的劳动合同关系在其达到法定退休年龄时已经终止。周某要求学校支付违法解除劳动合同经济赔偿金的请求，并未得到法院的支持。
在第二个案例中，王阿姨虽然达到了法定退休年龄，但由于社保缴费年限不足，无法享受养老保险待遇。然而，这并非餐饮公司的原因导致。因此，餐饮公司终止与王阿姨的劳动关系，并不需要支付赔偿金。法院的判决也支持了这一观点。
综上所述，对于退休人合同到期后的问题，我们需要根据具体情况进行判断。如果劳动者已经达到法定退休年龄，且非因用人单位的原因无法享受养老保险待遇或领取退休金，那么其与用人单位之间的劳动关系将自然终止。在这种情况下，劳动者可以办理退休手续，享受相应的退休待遇。如果因用人单位的原因导致劳动者无法享受这些待遇，那么劳动者有权要求用人单位承担相应的责任。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的咨询，请随时告诉我。