针对您提出的问题，核心结论是：离职时未签竞业限制协议，离职后一个月公司要求启动竞业协议，一般情况下该协议对您不产生约束力，但具体还需根据实际情况判断。以下是对此问题的详细分析：
一、竞业限制协议的生效条件
竞业限制协议是用人单位与劳动者约定的，在解除或者终止劳动合同后，劳动者不得到与本单位生产或者经营同类产品、从事同类业务的有竞争关系的其他用人单位工作，或者自己开业生产或者经营同类产品、从事同类业务的协议。根据《劳动合同法》的相关规定，竞业限制协议的生效需满足以下条件：
- 双方自愿签订：竞业限制协议必须由用人单位与劳动者双方自愿签订，任何一方不得强迫对方签订。
- 明确竞业限制范围、地域、期限：协议中应明确竞业限制的具体范围、地域和期限，以便劳动者明确自己的义务。
- 支付经济补偿：用人单位在竞业限制期限内应按月给予劳动者经济补偿，以弥补劳动者因竞业限制而可能遭受的损失。
二、离职时未签竞业限制协议，离职后公司要求启动的情况分析
若离职时双方未签订竞业限制协议：
- 在此情况下，由于双方未就竞业限制达成合意，因此离职后公司要求启动竞业限制协议缺乏法律依据，该协议对您不产生约束力。
若离职时双方虽未签订书面竞业限制协议，但存在口头约定或其他形式的合意：
- 口头约定或其他形式的合意在法律上可能具有一定的效力，但举证难度较大。若您能提供证据证明双方存在竞业限制的合意，且公司能证明已支付经济补偿，则该协议可能对您产生约束力。然而，由于您离职时未签订书面协议，这增加了公司举证的难度，也降低了协议被认定的可能性。
若公司事后要求补签竞业限制协议：
- 补签竞业限制协议需要双方自愿，且应明确补签后的竞业限制范围、地域、期限和经济补偿等条款。若您不同意补签或双方无法就补签条款达成一致，则该协议无法生效。
三、法律建议
审查离职时是否签订竞业限制协议：
- 首先，您应仔细审查离职时是否与公司签订了竞业限制协议。若未签订，则您无需承担竞业限制义务。
收集证据以备不时之需：
- 若公司事后要求启动竞业限制协议，您应收集相关证据（如离职证明、未签订竞业限制协议的证明、公司未支付经济补偿的证据等）以证明自己的立场。
咨询专业律师以获取法律帮助：
- 若您对竞业限制协议的法律效力或公司的要求存在疑问，建议咨询专业律师以获取法律帮助。律师可以根据您的具体情况提供针对性的法律建议和解决方案。
总之，离职时未签竞业限制协议，离职后公司要求启动该协议一般情况下对您不产生约束力。但具体还需根据实际情况判断，并建议您在必要时咨询专业律师以获取法律帮助。如有其他疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。