若不履行竞业限制通知书，可能面临承担违约责任、赔偿损失等法律后果，具体应对方式需根据实际情况判断，以下是详细分析：

1. 竞业限制协议的效力认定
   首先需确认竞业限制协议是否合法有效。根据《劳动合同法》第二十三条、第二十四条，竞业限制协议需满足以下条件才具有法律效力：
   

• 主体适格：仅限用人单位的高级管理人员、高级技术人员或其他负有保密义务的人员；
  
• 范围合理：竞业限制范围、地域、期限需明确，且期限不得超过二年；
  
• 经济补偿：用人单位需在竞业限制期限内按月支付经济补偿（通常为离职前12个月平均工资的30%以上，且不低于当地最低工资标准）。
  若协议存在无效情形（如主体不适格、未支付补偿等），劳动者可主张协议无效，无需履行竞业限制义务。

1. 劳动者不履行的法律后果
   若协议有效且劳动者违反竞业限制义务，用人单位可依据《劳动合同法》第二十三条要求劳动者承担违约责任，包括：
   

• 继续履行：要求劳动者停止违反竞业限制的行为（如停止在竞业单位任职）；
  
• 赔偿损失：用人单位可要求劳动者赔偿因违约造成的实际损失（如商业秘密泄露导致的直接经济损失）；
  
• 支付违约金：若协议中约定了违约金条款，用人单位可要求劳动者支付违约金（违约金金额需合理，过高部分可能被法院调整）。
  示例：若劳动者离职后到竞业单位工作，用人单位可要求其立即离职，并赔偿因商业秘密泄露导致的客户流失损失，同时按协议约定支付违约金。

1. 用人单位未支付补偿的应对
   若用人单位未按约定支付经济补偿，劳动者可依据《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第三十八条主张权利：
   

• 催告履行：劳动者可书面催告用人单位支付补偿，并给予合理期限；
  
• 解除协议：若用人单位逾期未支付，劳动者可通知解除竞业限制协议，此后无需再履行义务；
  
• 要求支付补偿：劳动者仍有权要求用人单位支付已履行期间的补偿。
  注意：劳动者需保留催告记录（如邮件、短信等），以证明已履行通知义务。

1. 争议解决途径
   若双方就竞业限制义务产生争议，可通过以下途径解决：
   

• 协商：双方可就补偿支付、违约责任等事项协商达成一致；
  
• 调解：向劳动争议调解组织申请调解（如企业调解委员会、基层调解组织）；
  
• 仲裁/诉讼：向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或向法院提起诉讼（仲裁为前置程序）。
  建议：劳动者在处理竞业限制纠纷时，务必保留协议文本、补偿支付记录、违约证据（如竞业单位任职证明）等材料，以维护自身权益。

总结：不履行竞业限制通知书的法律后果需结合协议效力、补偿支付情况等因素综合判断。若您面临此类问题，建议提供协议文本及具体事实，以便进一步分析。