检查监督再审申请书可以由律师撰写，但并非必须由律师撰写。以下是对这一问题的详细分析：

一、律师撰写检查监督再审申请书的优势

1. 专业性：律师具备专业的法律知识和丰富的实践经验，能够准确理解案件事实，把握法律要点，撰写出高质量、有说服力的再审申请书。
2. 效率性：律师熟悉再审申请的流程和要求，能够高效地完成申请书的撰写和提交工作，避免因不熟悉流程而导致的延误或错误。
3. 策略性：律师能够根据案件的具体情况，制定合适的再审策略，通过申请书充分展示案件的争议焦点和再审理由，提高再审申请的成功率。

二、非律师撰写检查监督再审申请书的情况

1. 当事人自行撰写：如果当事人具备足够的法律知识和写作能力，也可以自行撰写再审申请书。但需要注意的是，由于法律知识的专业性和复杂性，自行撰写的申请书可能存在法律要点把握不准确、表述不清晰等问题。
2. 其他法律工作者协助：除了律师外，还有一些其他法律工作者（如法律顾问、法律助理等）也可能具备撰写再审申请书的能力。但同样需要注意其专业性和经验水平。

三、撰写检查监督再审申请书的注意事项

1. 准确理解案件事实：无论是律师还是非律师撰写申请书，都需要准确理解案件事实，确保申请书中的陈述与案件事实相符。
2. 把握法律要点：再审申请书需要明确指出原判决、裁定存在的错误或不当之处，并引用相关法律条款进行论证。因此，撰写者需要具备扎实的法律功底和准确的法律适用能力。
3. 清晰表述：申请书需要清晰、准确地表述再审请求和理由，避免使用模糊、歧义的语言。同时，还需要注意申请书的格式和排版要求，确保符合法院的要求。

四、建议

1. 如果条件允许，建议聘请专业律师撰写：由于再审申请涉及复杂的法律问题和严格的程序要求，聘请专业律师撰写申请书能够大大提高再审申请的成功率。
2. 如果自行撰写，务必谨慎对待：如果当事人决定自行撰写再审申请书，务必谨慎对待，确保申请书的质量。在撰写过程中，可以参考相关法律条文、案例和法院的要求，或者咨询专业律师的意见。

如果您有关于检查监督再审申请书撰写或其他法律问题的疑问，可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况，提供专业的法律建议和帮助。