申请检察监督时，请求抗诉和发出再审检察建议并不需要同时都写，而是根据具体情况选择适用。
在司法实践中，检察监督是检察机关对诉讼活动进行法律监督的重要方式。当当事人认为法院的判决、裁定存在错误时，可以向检察机关申请检察监督。检察机关在审查后，根据案件的具体情况和法律规定，可以采取不同的监督措施，其中包括请求抗诉和发出再审检察建议。
请求抗诉：这是检察机关对下级法院已经发生法律效力的判决、裁定，发现确有错误时，依法向上一级法院提出抗诉的监督方式。请求抗诉通常适用于判决、裁定存在严重错误，且这些错误可能影响到案件公正处理的情况。
发出再审检察建议：这是检察机关对法院已经发生法律效力的判决、裁定，发现存在错误或者不当，但尚不构成抗诉条件时，可以向法院提出再审检察建议，建议法院重新审理案件。再审检察建议的适用范围相对较广，可以针对判决、裁定中的一般性错误或者不当之处提出。
因此，在申请检察监督时，当事人应当根据案件的具体情况和自己的诉求，选择适当的监督方式。如果认为判决、裁定存在严重错误，且这些错误可能影响到案件公正处理，可以选择请求抗诉；如果认为判决、裁定存在一般性错误或者不当之处，但尚不构成抗诉条件，可以选择请求发出再审检察建议。
需要注意的是，申请检察监督是一项严肃的法律程序，当事人应当提供充分的证据和理由来支持自己的申请。同时，检察机关在审查申请时，也会依法、公正、独立地行使监督权，确保案件的公正处理。