核心结论：公司未通过对公账户发工资且未签合同的情况下，员工仍可通过合法途径要求公司补缴社会保险，具体可从以下方面着手：

1. 确认劳动关系存在
   尽管未签订书面劳动合同，但根据《劳动合同法》第七条，劳动关系自用工之日起建立。员工可通过以下证据证明劳动关系：

   • 工资支付记录（如银行转账记录、现金签收单等，即使非对公账户转账也可作为辅助证据）；
     
   • 工作证、考勤记录、工作群聊天记录、同事证言等；
     
   • 公司发放的邮件、任务安排记录等。
     若公司否认劳动关系，员工可向劳动争议仲裁委员会申请确认劳动关系，这是后续维权的基础。

2. 要求公司补缴社会保险的法律依据
   根据《社会保险法》第五十八条，用人单位应当自用工之日起30日内为员工办理社保登记并缴纳社保。未缴纳的，员工可要求公司补缴，且补缴期限不受未签合同影响。具体流程：

   • 协商补缴：直接与公司沟通，要求补缴社保（需明确补缴基数、期限等细节）；
     
   • 投诉举报：向当地社保稽核部门或劳动监察大队投诉，提交劳动关系证明及未缴社保的证据，要求行政部门责令公司补缴；
     
   • 劳动仲裁：若协商或投诉无果，可申请劳动仲裁，主张公司补缴社保（需注意仲裁时效为1年，自知道或应当知道权益受损之日起计算）。

3. 未签合同的额外权益主张
   未签书面劳动合同的，员工还可依据《劳动合同法》第八十二条要求公司支付双倍工资差额（最多11个月），但需注意：

   • 双倍工资的仲裁时效为1年，自用工满1年的次日起计算；
     
   • 需提供证明劳动关系及入职时间的证据（如上述工资记录、考勤等）。
     此权益与补缴社保可并行主张，但需分别通过劳动仲裁或社保部门处理。

4. 操作建议

   • 优先固定证据：收集所有能证明劳动关系及工资发放的证据（如转账记录、工作记录等）；
     
   • 分步骤维权：先协商补缴社保，若公司拒绝再投诉或仲裁；同时可一并主张未签合同的双倍工资；
     
   • 注意时效：社保补缴无明确时效限制，但双倍工资需在1年内主张；
     
   • 避免自行离职：若公司以未签合同为由解雇，可能涉及违法解除，员工可主张赔偿金（2N）。

总结：公司未通过对公账户发工资且未签合同，不影响员工要求补缴社保的权利。员工需先确认劳动关系，再通过协商、投诉或仲裁途径要求补缴，同时可主张未签合同的双倍工资。具体操作需结合证据情况及当地政策，如有疑问可进一步向我咨询。