结论：在父亲病危期间，您确实有权申请推迟开庭，但具体能否获得批准，需视法院对实际情况的审查和判断而定。
法律背景与依据：
根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人因不可抗拒的事由或者其他正当理由耽误期限的，在障碍消除后的十日内，可以申请顺延期限，是否准许，由人民法院决定。这里的“不可抗拒的事由”或“其他正当理由”通常包括突发疾病、意外事件等紧急情况，这些情况使得当事人无法按时参加庭审。
申请推迟开庭的具体流程与注意事项：
及时提交申请：在得知父亲病危后，您应尽快向法院提交书面申请，说明因父亲病危无法按时参加庭审的具体情况，并附上相关证明材料，如医院的诊断证明、病危通知书等。
法院审查与决定：法院在收到您的申请后，会对申请进行审查。审查过程中，法院可能会要求您提供更多的证明材料或进行进一步的说明。法院会根据实际情况，判断是否构成“不可抗拒的事由”或“其他正当理由”，并据此决定是否批准推迟开庭。
遵守法院决定：如果法院批准了您的申请，您应按照法院新的开庭时间准时参加庭审。如果法院未批准您的申请，您应尽量克服困难，按时参加庭审，或者考虑委托律师代为出庭。
可能遇到的法律后果与应对建议：
若申请被批准：您应妥善安排时间，确保在新的开庭时间能够准时出庭。同时，您也可以利用这段时间进一步准备庭审材料，为庭审做好充分准备。
若申请未被批准：您应评估自己是否能够克服困难按时出庭。如果确实无法出庭，您可以考虑委托律师代为出庭，或者向法院说明情况并申请线上开庭（如果法院支持线上开庭的话）。在任何情况下，您都应保持与法院的沟通，确保法院了解您的实际情况和困难。
特殊情况下的处理建议：
如果父亲病危的情况非常紧急，且您确实无法在短时间内提交书面申请，您可以先通过电话或其他方式向法院说明情况，并在事后尽快补交书面申请和相关证明材料。同时，您也可以考虑寻求律师的帮助，让律师协助您处理申请推迟开庭的相关事宜。
总结与建议：
在父亲病危期间申请推迟开庭是一个涉及法律程序和人情世故的复杂问题。我建议您在遇到此类情况时，首先保持冷静，及时收集相关证明材料，并向法院提交书面申请。同时，您也可以考虑寻求律师的帮助，以确保您的权益得到妥善保护。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。