结论：在此情况下，赔偿责任的承担需根据具体情况来判断，一般来说，若司机是履行职务行为且不存在故意或重大过失，通常由老板（雇主）承担赔偿责任；若司机存在故意或重大过失，则老板和司机可能需要承担连带赔偿责任。以下是对此问题的详细分析：
一、雇主（老板）的责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条：“用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。用人单位承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的工作人员追偿。”
责任分析：
- 如果司机是在执行工作任务（即受雇于老板，为老板开车）过程中发生的交通事故，且司机没有故意或重大过失（如酒驾、毒驾、故意闯红灯等），那么根据法律规定，赔偿责任应由老板（用人单位）承担。
- 老板在承担赔偿责任后，如果发现司机存在故意或重大过失，有权向司机追偿。
二、司机的责任
法律依据：
- 同样根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条，如果司机存在故意或者重大过失，用人单位在承担侵权责任后，可以向司机追偿。
- 此外，如果司机的行为构成犯罪（如交通肇事罪），还将面临刑事责任的追究。
责任分析：
- 在本案例中，司机因没有注意观察导致交通事故，并承担全责。这通常被视为过失行为，但不一定构成重大过失。然而，如果这种过失行为导致了严重的后果（如重伤或死亡），或者司机存在多次类似违规行为，可能被认定为重大过失。
- 如果司机被认定为存在故意或重大过失，那么老板在承担赔偿责任后，有权向司机追偿。同时，司机还可能面临行政处罚或刑事责任的追究。
三、实际处理建议
老板方面：
- 老板应尽快与受害者或其家属协商赔偿事宜，并按照法律规定承担赔偿责任。
- 老板可以保留向司机追偿的权利，特别是在发现司机存在故意或重大过失的情况下。
司机方面：
- 司机应积极配合老板和受害者的处理工作，如实陈述事故经过。
- 如果司机认为自己不存在故意或重大过失，可以收集相关证据以支持自己的主张。
- 司机应认识到自己的过失行为可能带来的法律后果，并做好相应的准备。
共同处理：
- 老板和司机可以共同协商处理赔偿事宜，以减轻彼此的负担。
- 如果双方无法达成一致，可以寻求法律途径解决争议。
后续思考依据：在处理此类交通事故赔偿问题时，关键在于明确事故责任、判断司机行为是否构成故意或重大过失、以及确定赔偿责任的承担主体。因此，在处理类似案件时，应详细调查事故经过、收集相关证据、并依据法律规定进行判断和处理。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。