结论前置：没有资质的承包人遇到发包人违约时，能否起诉要求继续履行合同，需分情况讨论，具体如下：

1. 合同效力层面
   根据《民法典》第791条及《建筑法》第26条，承包人未取得相应资质的，建设工程施工合同应认定为无效。若合同本身无效，则不存在“继续履行”的法律依据，承包人无法直接主张按原合同继续施工。但若合同已部分履行（如已完成部分工程），可依据《民法典》第157条主张折价补偿（按已完成工程量结算工程款）。

2. 例外情形：合同可补正资质时
   若承包人虽签约时无资质，但在诉讼前已取得相应资质，或发包人明知承包人无资质仍同意其施工（如通过书面补充协议追认），部分法院可能基于“维护交易稳定”原则，认定合同效力补正，此时承包人可尝试主张继续履行。但此类情形需结合具体证据（如资质证书、双方沟通记录）综合判断，实践中认定标准严格。

3. 实际履行可能性层面
   即使合同有效，若继续履行存在客观障碍（如工程已被发包人转包给第三方、项目规划变更导致无法施工），法院可能依据《民法典》第580条，以“法律上或事实上不能履行”为由驳回继续履行请求，转而判决赔偿损失（如预期利润、窝工损失等）。

行动建议：

• 立即固定证据：保存合同、施工记录、沟通往来函件、已完成工程量证明（如监理签字单、材料采购凭证）等；
  
• 评估损失范围：包括已投入成本、预期可得利益、因违约导致的额外支出等；
  
• 优先协商：尝试与发包人达成补充协议，明确结算方式及违约责任；
  
• 及时起诉：若协商无果，需在3年诉讼时效内起诉，主张折价补偿或赔偿损失（具体诉求需结合合同效力及履行情况设计）。
  

提示：无资质施工可能面临行政处罚（如罚款、责令停业），建议后续承接工程时严格审核资质要求，避免法律风险。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体案件细节。