结论前置：在双方都是轻微伤且一方主张正当防卫的情况下，若该防卫行为符合正当防卫的法定条件，则防卫方通常无需承担刑事责任和民事赔偿责任。但具体是否构成正当防卫，需结合案件事实和法律规定进行综合判断。
详细分析：
正当防卫的法定条件：
- 存在不法侵害：必须存在客观真实的不法侵害行为，而非主观臆想或误解。
- 不法侵害正在进行：防卫行为必须在不法侵害实际发生且正在进行的时刻进行，若不法侵害已经结束或尚未开始，则不构成正当防卫。
- 防卫目的正当：防卫人的目的必须是为了制止不法侵害，保护合法权益，而非出于报复、泄愤等其他非防卫目的。
- 针对不法侵害人本人：防卫行为必须直接针对实施不法侵害的人，不能对无辜第三者进行伤害。
- 防卫限度适当：防卫行为不能明显超过必要限度，造成不必要的重大损害。对于造成对方轻伤的情况，一般视为在合理的防卫限度内。
正当防卫的刑事责任：
- 若防卫行为符合上述条件，即便造成对方轻伤，也不会构成犯罪，无需承担刑事责任。
- 若防卫行为明显超过必要限度，造成重大损害，则应负刑事责任，但可以减轻或免除处罚。不过，对于正在进行的行凶、杀人、抢劫、强奸、绑架以及其他严重危及人身安全的暴力犯罪，采取防卫行为造成不法侵害人伤亡的，不属于防卫过当，不负刑事责任。
正当防卫的民事责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一百八十一条，因正当防卫造成损害的，不承担民事责任。这意味着，只要正当防卫的认定成立，防卫人无需对不法侵害人的轻伤承担民事赔偿责任。
- 若防卫行为被认定为超过必要限度，造成不应有的损害，则防卫人可能需要承担适当的民事赔偿责任。
法律建议：
- 收集证据：在主张正当防卫时，务必收集并保存好相关证据，如现场监控录像、证人证言、医疗记录等，以证明防卫行为的必要性和合理性。
- 及时报警：在发生冲突后，应立即报警并等待警方处理。警方将进行调查并收集证据，以判断是否构成正当防卫。
- 咨询专业律师：由于正当防卫的认定涉及复杂的法律判断和事实认定，建议咨询专业律师以获取准确的法律意见和帮助。律师将根据你的具体情况，分析防卫行为是否符合正当防卫的条件，并为你提供相应的法律策略和建议。
可能后果：
- 若防卫行为被认定为正当防卫，则防卫方无需承担任何刑事责任和民事赔偿责任。
- 若防卫行为被认定为防卫过当或不符合正当防卫的条件，则防卫方可能需要承担相应的刑事责任和民事赔偿责任。具体责任大小将根据案件事实和法律规定进行综合判断。
总结：在双方都是轻微伤且一方主张正当防卫的情况下，关键在于判断防卫行为是否符合正当防卫的法定条件。若符合条件，则防卫方无需承担任何责任；若不符合条件，则可能面临刑事责任和民事赔偿责任的承担。因此，在主张正当防卫时，务必确保防卫行为的必要性和合理性，并收集好相关证据以支持自己的主张。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。