在处理上班期间打瞌睡睡着的情况时，开罚单并非一个简单直接的行为，而是需要依据公司的规章制度、员工的具体行为情节以及造成的后果来综合考量。以下是我为您提供的详细解答：
首先，明确公司规章制度：
- 公司应事先制定明确的员工行为规范和奖惩制度，其中应包含对于上班期间打瞌睡、睡觉等行为的处理规定。
- 这些规定应合理、合法，并且已经通过适当的方式（如员工手册、内部通知等）告知员工。
接下来，评估员工行为情节：
- 员工打瞌睡睡着的时间长短是一个重要的考量因素。短暂闭眼休息与长时间睡眠在性质上有所不同，对工作的影响程度也不同。
- 员工打瞌睡时是否处于关键岗位或正在执行关键任务，以及是否因此造成了工作延误、失误或安全事故等后果，也是评估的重要方面。
然后，考虑处理方式的合理性：
- 根据员工行为情节的轻重，公司可以采取不同程度的处理措施，如口头警告、书面警告、罚款、降职、解除劳动合同等。
- 在采取处理措施时，公司应确保处理方式与员工行为的性质、情节以及造成的后果相匹配，避免过度处罚或处罚不当。
以您提供的案例为例：
- 在第一个案例中，刘某虽然上班打瞌睡，但时间较短，且未造成严重后果。公司直接解除劳动合同的处理方式可能过于严苛，最终在仲裁员的调解下，双方恢复了劳动关系。
- 在第二个案例中，余某连续工作超过8小时后闭眼休息3分钟，被公司开除。法院认为余某的行为并非严重过错，且公司无证据证明余某给公司带来的具体损失已经达到了严重损失的程度，因此判决公司违法解除劳动合同，并需支付赔偿金。
最后，建议的处理流程：
- 调查核实：公司应首先调查核实员工打瞌睡睡着的具体情况，包括时间、地点、岗位、是否造成后果等。
- 依据规章制度：根据公司的规章制度，确定员工行为的性质和处理方式。
- 与员工沟通：在采取处理措施前，公司应与员工进行沟通，了解员工的情况和想法，给予员工解释和申辩的机会。
- 作出处理决定：根据调查结果和规章制度，公司作出合理的处理决定，并书面通知员工。
- 执行与监督：公司应确保处理决定的执行，并对执行情况进行监督，确保处理措施的公正性和有效性。
总之，处理上班期间打瞌睡睡着的情况需要综合考虑多方面因素，确保处理方式的合理性和公正性。同时，公司也应关注员工的身心健康和工作状态，合理安排工作任务和休息时间，营造良好的工作氛围。