核心结论：老人指定一人赡养后又立遗嘱给其他子女继承的，法律会根据具体情况，从遗嘱效力、赡养协议与遗嘱冲突处理、公平原则等角度进行裁定。以下为详细分析：

1. 遗嘱效力优先原则
   根据《民法典》第1123条，继承开始后，有遗嘱的按照遗嘱继承或遗赠办理。若遗嘱形式合法（如自书、代书、录音、口头、公证遗嘱等），内容未违反法律强制性规定（如剥夺缺乏劳动能力又无生活来源继承人的份额），则遗嘱有效。此时，即使老人曾指定某子女赡养，遗嘱中处分财产的部分仍优先于法定继承规则。例如：老人立遗嘱将房产指定由未承担赡养义务的子女继承，只要遗嘱合法，该子女可依遗嘱取得房产。

2. 赡养协议与遗嘱冲突的协调
   若老人与某子女签订了附义务的赠与协议（如“由A负责赡养，房产归A”），但后续又立遗嘱将房产给其他子女，需分情况处理：

   • 若赡养协议已履行（A实际承担了主要赡养义务），根据《民法典》第1144条，受赠人（A）可主张遗嘱部分无效或要求补偿。法院可能结合赡养投入、遗嘱内容、其他子女情况，判决部分财产归A所有，剩余部分按遗嘱分配。
     
   • 若赡养协议未履行（A未尽赡养义务），老人有权通过遗嘱变更财产分配，此时遗嘱效力不受影响。

3. 公平原则的考量
   即使遗嘱有效，法院也可能根据《民法典》第1130条“对被继承人尽了主要扶养义务或与被继承人共同生活的继承人，分配遗产时可以多分”的规定，对实际承担赡养义务的子女予以适当倾斜。例如：老人遗嘱将存款全给未赡养的子女，但法院可能判决赡养子女分得部分存款，以体现权利义务对等。

4. 特殊情形：遗赠扶养协议的优先性
   若老人与他人（包括子女）签订了遗赠扶养协议（约定由扶养人承担生养死葬义务，老人将财产遗赠给扶养人），根据《民法典》第1123条，遗赠扶养协议效力优先于遗嘱。此时，即使老人后续立遗嘱，财产仍归扶养人所有，除非协议被撤销或解除。

建议：若您或家人涉及此类纠纷，建议收集以下证据：

• 遗嘱原件及公证材料（证明遗嘱合法性）；
  
• 赡养协议或相关约定（如有）；
  
• 赡养支出凭证（如医疗费、生活费发票、护理记录等）；
  
• 证人证言（如邻居、社区工作人员证明赡养情况）。
  

法律问题需结合具体证据和细节分析，您可直接向我咨询，我会根据您的实际情况提供更精准的建议。