结论前置：在劳动仲裁过程中，仲裁员未通知当事人，当事人一般不可以自行提交笔迹鉴定样本，此行为可能不符合法定程序，但具体是否违法需结合实际情况判断。以下从多个角度进行分析：
一、法定程序与仲裁员职责
在劳动仲裁程序中，仲裁员承担着组织仲裁活动、查明事实、分清责任并依法作出裁决的重要职责。这包括通知当事人参加仲裁活动、告知当事人相关权利义务、组织证据交换和质证等。笔迹鉴定作为证据的一种，其提交和鉴定过程也应当遵循法定程序。
二、当事人提交笔迹鉴定样本的法定要求
申请与通知：如果当事人认为需要笔迹鉴定来证明自己的主张或反驳对方的主张，通常应当向仲裁庭提出申请，并说明鉴定的理由和目的。仲裁庭在审查后，如果认为有必要进行笔迹鉴定，会通知双方当事人，并指定或委托具有资质的鉴定机构进行鉴定。
样本的提交：在笔迹鉴定过程中，鉴定机构会要求提供鉴定所需的样本。这些样本通常应当由仲裁庭或鉴定机构指定或要求当事人提供，以确保样本的真实性和合法性。当事人自行提交的样本，如果未经仲裁庭或鉴定机构的认可，可能不会被采纳作为鉴定的依据。
三、自行提交笔迹鉴定样本的可能后果
程序违法性：如果当事人未经仲裁庭或鉴定机构同意，自行提交笔迹鉴定样本，这可能违反了法定程序。仲裁庭在审理案件时，会严格遵循法定程序，对于不符合程序的证据或行为，可能会不予采纳或视为无效。
证据效力问题：自行提交的笔迹鉴定样本，如果未经仲裁庭或鉴定机构的认可，其证据效力可能会受到质疑。在仲裁过程中，证据的合法性、真实性和关联性是判断其能否被采纳的关键因素。自行提交的样本可能无法满足这些要求，从而影响其证据效力。
四、特殊情况下的处理
虽然一般情况下当事人不可以自行提交笔迹鉴定样本，但在某些特殊情况下，如果当事人能够证明自行提交的样本具有合法性、真实性和关联性，且仲裁庭或鉴定机构认为有必要采纳该样本进行鉴定，那么该样本可能会被采纳。然而，这种情况较为罕见，且需要当事人提供充分的证据来证明其样本的合法性和真实性。
五、建议与提醒
遵循法定程序：在劳动仲裁过程中，当事人应当严格遵循法定程序，按照仲裁庭或鉴定机构的要求提交证据和样本。不要自行决定提交未经认可的证据或样本，以免影响案件的审理和裁决。
及时沟通与申请：如果当事人认为需要笔迹鉴定来证明自己的主张或反驳对方的主张，应当及时向仲裁庭提出申请，并说明鉴定的理由和目的。仲裁庭会根据案件情况决定是否需要进行笔迹鉴定，并指定或委托具有资质的鉴定机构进行鉴定。
咨询专业律师：在劳动仲裁过程中，如果当事人对程序或证据提交有疑问或困惑，可以咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。