结论：兼职未签订劳动合同且未支付工资的情况下，劳动者随时停止兼职的合法性需分情况讨论，但未通知原单位离职可能涉及违约或侵权风险。以下从不同角度详细分析：

一、未签订劳动合同对劳动关系的影响

1. 事实劳动关系认定
   根据《劳动合同法》第七条，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。即使未签订书面合同，只要存在实际用工行为（如提供劳动、接受管理、支付报酬等），双方即构成事实劳动关系。因此，兼职未签合同不影响劳动关系的成立。

2. 未签合同的法律后果
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月未签书面合同的，需向劳动者支付双倍工资（最多11个月）。但此条款针对全日制用工，兼职（非全日制用工）不适用。非全日制用工可口头约定合同，无需书面形式（《劳动合同法》第六十九条）。

二、未支付工资的法律性质

1. 工资支付义务
   无论是否签订合同，用人单位均需按约定支付劳动报酬。若未支付，劳动者有权依据《劳动法》第五十条要求支付，并可主张拖欠工资的赔偿金（《劳动合同法》第八十五条）。

2. 劳动者解除劳动关系的权利

   • 全日制用工：根据《劳动合同法》第三十八条，用人单位未及时足额支付劳动报酬的，劳动者可提前通知解除合同（无需提前30日），并主张经济补偿金。
     
   • 非全日制用工：根据《劳动合同法》第七十一条，非全日制用工双方可随时通知对方终止用工，且用人单位无需支付经济补偿。但“随时通知”不等于“无需通知”，若未通知直接离职，可能因突然离职给用人单位造成损失而承担赔偿责任。

三、未通知离职的法律风险

1. 违约责任
   若兼职属于非全日制用工，虽可随时终止，但需“通知”对方。若未通知直接离职，可能违反诚实信用原则，尤其当离职导致用人单位损失（如项目中断、客户流失等）时，需赔偿实际损失（《民法典》第五百条）。

2. 侵权责任
   若兼职涉及特定职责（如财务、技术等），突然离职可能泄露商业秘密或造成其他损害，需承担侵权责任（《反不正当竞争法》第九条）。

四、建议与行动步骤

1. 收集证据

   • 证明劳动关系：工作记录、考勤、工资条、聊天记录等。
     
   • 证明拖欠工资：银行流水、欠条、同事证言等。

2. 协商与投诉

   • 优先与用人单位协商，要求支付工资并明确离职时间。
     
   • 若协商无果，可向当地劳动监察大队投诉（《劳动保障监察条例》第十一条）。

3. 法律途径

   • 申请劳动仲裁：主张工资、双倍工资差额（如适用）、经济补偿金（如适用）。
     
   • 提起诉讼：对仲裁结果不服的，可向法院起诉。

4. 离职通知

   • 即使决定离职，也建议以书面形式通知用人单位，保留通知证据（如邮件、短信），避免后续纠纷。

总结：兼职未签合同不影响劳动关系成立，未支付工资时劳动者有权解除关系，但需根据用工性质（全日制/非全日制）决定是否需通知。未通知离职可能承担违约或侵权责任，建议通过合法途径维权并妥善处理离职手续。如有进一步问题，可直接向我咨询。