被公司开除后，是否需要在入职下一家公司时老实告知，这主要取决于新公司的入职要求以及开除的具体情况，以下分情况讨论：
新公司明确要求提供前一份工作的离职原因：
- 在这种情况下，你应当如实告知新公司你被前公司开除的情况。因为隐瞒或提供虚假信息可能构成对新公司的欺诈，一旦被发现，新公司有权解除与你的劳动合同，并且可能不会支付经济补偿。此外，这种不诚信的行为也可能对你的职业声誉造成负面影响。
- 法律背景：根据《劳动合同法》的相关规定，劳动者在订立劳动合同时，应当遵循诚实信用原则，如实告知与劳动合同直接相关的基本情况。虽然法律并未明确规定必须告知离职原因，但若新公司明确要求，且离职原因与劳动合同的履行直接相关（如因严重违反公司规章制度被开除），则劳动者有义务如实告知。
新公司未明确要求提供前一份工作的离职原因：
- 在这种情况下，你可以选择不主动提及被开除的情况，而是侧重于介绍自己的工作经历、技能和成就。然而，如果新公司在后续的背景调查中发现你被前公司开除的事实，并且认为这与你应聘的职位或公司的文化不符，那么这可能会影响你的入职机会。
- 建议：即使新公司未明确要求，如果你认为被开除的情况可能对你的入职产生负面影响，也可以考虑主动与新公司沟通，解释被开除的具体原因，并展示你从中吸取的教训和改进的措施。这样有助于建立信任，增加入职的机会。
被开除的原因涉及违法或严重违反职业道德：
- 如果被开除的原因涉及违法或严重违反职业道德（如贪污、盗窃、性骚扰等），那么无论新公司是否明确要求，你都应当如实告知。因为这种行为不仅可能对你的职业声誉造成严重影响，还可能构成对新公司的潜在威胁。新公司有权了解你的过往行为，以评估你是否适合担任新职位。
- 法律后果：如果隐瞒或提供虚假信息，一旦被发现，新公司不仅有权解除与你的劳动合同，还可能追究你的法律责任。此外，这种行为也可能导致你在整个行业内的声誉受损，影响未来的职业发展。
总结与建议：
- 在入职新公司时，是否告知被开除的情况应取决于新公司的入职要求以及开除的具体情况。
- 如果新公司明确要求提供离职原因，或者被开除的原因涉及违法或严重违反职业道德，那么应当如实告知。
- 如果新公司未明确要求，且被开除的原因不严重，可以考虑不主动提及，但应做好应对背景调查的准备。
- 无论何种情况，都应保持诚实和透明的态度，积极与新公司沟通，以建立信任和增加入职机会。
如果你在处理此类问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。