犯罪嫌疑人被抓获后主动供述自己之前的犯罪，通常不被直接认定为一般自首，但在特定条件下可构成特别自首，若不符合自首条件，如实供述仍可能被视为坦白并得到从宽处理。以下是对这一问题的详细分析：
一、自首的认定条件
自首分为一般自首和特别自首两种情形，其认定条件各不相同：
一般自首：
- 自动投案：犯罪嫌疑人在未被采取强制措施、未被讯问等情况下，主动、直接向公安机关、人民检察院、人民法院或者其他有关机关投案。
- 如实供述自己的罪行：犯罪嫌疑人到案后，必须如实交代自己的犯罪事实，不隐瞒、不抵赖。
特别自首（准自首）：
- 主体条件：被采取强制措施的犯罪嫌疑人、被告人和正在服刑的罪犯。
- 供述内容：如实供述司法机关还未掌握的本人其他罪行，且这些罪行与已被掌握的罪行不同种。
二、被抓获后供述罪行的性质
不构成一般自首：
- 犯罪嫌疑人被抓获后，由于已经不存在自动投案的可能性，因此不符合一般自首的“自动投案”条件，不能被认定为一般自首。
可能构成特别自首：
- 如果犯罪嫌疑人在被抓获后，主动供述了司法机关尚未掌握的本人其他罪行，且这些罪行与已被掌握的罪行不同种，那么这种行为符合特别自首的条件，应当认定为自首。
视为坦白：
- 如果犯罪嫌疑人被抓获后，只是反复交代司法机关已经掌握的犯罪细节等情况，或者供述的罪行与司法机关已掌握的罪行属于同种，那么这种行为不能被认定为自首，但可能被视为坦白。根据法律规定，犯罪嫌疑人如实供述自己罪行的行为仍然有可能得到法律的从宽处理。
三、具体案例说明
假设某犯罪嫌疑人在实施盗窃后被警方抓获。在审讯过程中，他主动交代了另一起未被警方掌握的抢劫案。在这种情况下，由于该犯罪嫌疑人是在被动归案后，主动供述了司法机关尚未掌握的本人其他罪行，且抢劫罪与盗窃罪属于不同种罪行，因此他的行为符合“特别自首”的条件，应当认定为自首。
四、法律建议
对于涉及刑事案件的当事人及其家属而言，了解自首与坦白的区别及法律后果至关重要。如果您或您的家人面临类似情况，建议及时向我咨询，我会根据您的具体情况提供针对性的法律分析和建议，帮助您更好地维护自身权益。
法律依据：
- 《中华人民共和国刑法》第六十七条：犯罪以后自动投案，如实供述自己的罪行的，是自首。对于自首的犯罪分子，可以从轻或者减轻处罚。其中，犯罪较轻的，可以免除处罚。被采取强制措施的犯罪嫌疑人、被告人和正在服刑的罪犯，如实供述司法机关还未掌握的本人其他罪行的，以自首论。
- 《最高人民法院关于处理自首和立功具体应用法律若干问题的解释》第二条：根据刑法第六十七条第二款的规定，被采取强制措施的犯罪嫌疑人、被告人和已宣判的罪犯，如实供述司法机关尚未掌握的罪行，与司法机关已掌握的或者判决确定的罪行属不同种罪行的，以自首论。