结论：私人单位与员工1年1签合同连续10年后，是否能辞退员工，并非简单的是或否的问题，而是需要根据具体情况来判断。
分析如下：
合同到期与辞退的合法性：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同到期后，用人单位有权选择是否续签劳动合同。如果用人单位决定不续签，那么劳动合同将自然终止，用人单位无需支付经济补偿金（除非存在特定情形，如用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形除外，但此情形下也仅涉及经济补偿，不涉及违法辞退）。然而，若用人单位在合同到期后，未提前通知劳动者不续签，或者以不合理的理由拒绝续签，可能构成违法终止劳动合同，需要承担相应的法律责任。
- 在您描述的情况下，如果私人单位在连续10年每年签订一次劳动合同后，决定不再续签，且没有违反相关法律法规的规定（如未提前通知、未支付经济补偿等），那么从法律上讲，单位是有权辞退员工的。但这里的关键是，单位必须确保辞退行为符合法律法规的规定，否则可能构成违法辞退。
连续签订固定期限劳动合同的特殊情况：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。在您描述的情况下，如果员工已经连续签订了10次固定期限劳动合同，且符合上述条件，那么员工有权要求签订无固定期限劳动合同。如果单位拒绝签订无固定期限劳动合同，而选择辞退员工，那么可能构成违法辞退，需要支付赔偿金。
违法辞退的法律后果：
- 如果私人单位违法辞退员工，员工有权要求单位支付赔偿金。赔偿金的计算标准通常是按照员工在单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
建议：
- 对于员工而言，如果面临被辞退的情况，首先应当了解自己的权益和法律法规的规定。如果认为单位的辞退行为违法，可以与单位进行协商，要求单位支付赔偿金或恢复劳动关系。如果协商无果，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。
- 对于单位而言，在辞退员工时应当谨慎行事，确保辞退行为符合法律法规的规定。如果确实需要辞退员工，应当提前与员工进行沟通，说明辞退的原因和依据，并按照法律法规的规定支付经济补偿金或赔偿金。
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