结论：公司通知您合同到期不续签后，您可以在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内提起劳动仲裁。不过，具体提起仲裁的时机还需结合实际情况，以下从不同角度为您详细分析。
法律规定的仲裁时效
根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二十七条：“劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。仲裁时效期间从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。” 在您的情况下，公司通知您合同到期不续签，这通常意味着您知道或应当知道自己的权利可能受到了侵害（如经济补偿等权益可能受损），因此，从通知之日起一年内，您都有权提起劳动仲裁。
提起仲裁的时机选择
- 协商阶段：在提起仲裁前，您可以先尝试与公司进行协商，看是否能就经济补偿、离职手续等事项达成一致。如果协商成功，可以签订书面协议，避免后续纠纷。如果协商不成，再考虑提起仲裁。
- 准备证据阶段：在提起仲裁前，您需要收集并整理好相关证据，如劳动合同、工资单、公司通知不续签的书面材料等。这些证据将有助于您在仲裁过程中证明自己的主张。因此，在证据准备充分后提起仲裁，会更有利。
- 考虑个人情况：您还需要考虑自己的个人情况，如是否需要尽快找到新工作、是否需要时间处理其他事务等。如果时间紧迫，可以尽早提起仲裁；如果时间相对充裕，可以等待证据准备更充分后再提起。
仲裁流程简介
- 提交仲裁申请：您需要向当地劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，并附上相关证据材料。
- 受理与开庭：仲裁委员会在收到申请后，会进行审查并决定是否受理。如果受理，会安排开庭时间并通知双方当事人。
- 仲裁裁决：在开庭过程中，双方当事人会进行陈述、举证、质证等环节。仲裁委员会会根据双方的主张和证据，作出裁决。
注意事项
- 保持冷静与理性：在处理劳动纠纷时，保持冷静与理性非常重要。避免情绪化的行为，以免对纠纷的解决产生不利影响。
- 寻求专业帮助：如果您对劳动法律不太熟悉，或者纠纷情况比较复杂，可以寻求专业律师的帮助。律师可以为您提供法律咨询、代理仲裁等服务，帮助您更好地维护自己的权益。
最后，如果您在公司通知合同到期不续签后，遇到了任何劳动纠纷问题，或者对仲裁流程、证据准备等方面有疑问，都可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供专业、全面的法律建议。