劳动合同9月份到期推迟到下年度一月一日起续签合同，这一做法确实可能对劳动者产生影响，具体影响取决于多种因素。以下是从不同角度进行的详细分析：
一、合同续签的合法性与影响
合法性角度：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同到期后，用人单位与劳动者可以协商续签劳动合同。如果双方协商一致，可以推迟续签的时间。因此，从法律层面讲，推迟续签合同本身并不违法。
对劳动者的影响：
- 经济利益：推迟续签合同可能导致劳动者在一段时间内处于无合同状态，虽然原合同可能继续有效至实际续签之日（根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，劳动者继续在用人单位工作，用人单位未表示异议的，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同），但劳动者可能因此错过一些基于合同约定的福利或待遇，如年终奖、晋升机会等。
- 职业稳定性：无合同状态可能让劳动者感到职业不稳定，担心自己的权益无法得到保障。这种不确定性可能对劳动者的心理和工作积极性产生负面影响。
- 社保与公积金：在推迟续签期间，如果用人单位未按照原合同或法律规定为劳动者缴纳社保和公积金，劳动者的相关权益可能受到损害。
二、特殊情况下的影响
如果推迟续签是出于用人单位的原因：
- 用人单位可能需要承担一定的法律责任，如支付劳动者在无合同期间的双倍工资（如果符合《劳动合同法》第八十二条规定的情形）。
- 劳动者有权要求用人单位尽快续签合同，并保障自己的合法权益不受损害。
如果推迟续签是出于劳动者或双方协商的原因：
- 劳动者应明确自己的权益和诉求，与用人单位进行充分沟通，确保续签后的合同条件不低于原合同。
- 双方可以协商确定推迟续签的具体期限和条件，并签订书面协议以明确双方的权利和义务。
三、建议与措施
对于劳动者：
- 在合同到期前，与用人单位沟通续签事宜，了解推迟续签的原因和期限。
- 如果推迟续签可能对自己的权益产生不利影响，可以要求用人单位提供相应的补偿或保障措施。
- 保留好与用人单位的沟通记录和相关证据，以备不时之需。
对于用人单位：
- 尽量在合同到期前与劳动者完成续签手续，避免不必要的法律风险和纠纷。
- 如果确实需要推迟续签，应与劳动者进行充分沟通，并签订书面协议明确双方的权利和义务。
- 确保在推迟续签期间继续为劳动者缴纳社保和公积金，保障劳动者的合法权益。
综上所述，劳动合同9月份到期推迟到下年度一月一日起续签合同可能对劳动者产生多方面的影响。因此，建议双方在协商推迟续签时充分考虑各种因素，并签订书面协议以明确双方的权利和义务。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。