公司确实有权开除老员工，但这一权利的行使必须严格基于合法的理由，并遵循法定的程序。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：
一、基于员工过错的开除情况
严重违反规章制度：
- 老员工若长期旷工、收受贿赂、泄露公司核心机密或参与打架斗殴等，严重违反了公司的考勤制度、廉洁制度、保密制度或员工行为规范，公司有权依据经过民主程序制定且向员工公示的规章制度，解除与老员工的劳动合同，且无需支付经济补偿。例如，若公司规章制度明确规定旷工连续三天或累计五天属于严重违纪，老员工若达到此标准，公司即可依法开除。
严重失职、营私舞弊：
- 若老员工在工作中因严重失职给公司造成重大损害，如采购到大量不合格产品导致经济损失，或利用职务之便营私舞弊，损害公司利益，公司可以依法开除该老员工。这种情况下，公司需有充分证据证明员工的失职或营私舞弊行为，以及该行为给公司造成的具体损失。
被依法追究刑事责任：
- 当老员工因犯罪被依法追究刑事责任时，如因诈骗罪、贪污罪等被判处刑罚，公司有权解除劳动合同。这是基于法律对劳动者基本行为准则的要求，以及公司对员工品行的合理期待。
二、基于公司经营状况的开除情况
经济性裁员：
- 在公司经营困难、濒临破产进行法定整顿期间或生产经营状况发生严重困难时，公司可能需要裁减人员以减轻负担。即使是老员工，也可能在被裁减范围内。但公司进行经济性裁员需符合法定程序，包括提前向工会或全体职工说明情况，听取意见，并向劳动行政部门报告。例如，公司需证明其经营状况确实困难，且裁员是必要的措施。
业务调整：
- 随着公司业务转型或战略调整，某些岗位可能不再需要。若老员工无法适应新的岗位要求，且在公司履行了协商调岗等程序后仍无法安排合适岗位，公司可能会选择开除老员工。这种情况下，公司需证明业务调整的必要性，以及老员工无法适应新岗位的事实。
三、基于劳动合同约定的开除情况
- 如果劳动合同中有特别约定，当满足特定条件时公司有权解除合同，如员工在特定项目中未能达到关键指标，公司可解除劳动合同。老员工若符合该情形，公司也可依约将其开除。但这种约定必须合法合理，且不得违反法律法规的强制性规定。
四、开除老员工的程序要求
- 无论基于何种理由开除老员工，公司都必须遵循法律规定的程序和要求。这包括通知工会（如有）、与员工进行沟通、出具书面通知、办理离职手续等。若公司未遵循法定程序，可能面临劳动纠纷，并承担支付赔偿金等法律责任。
五、老员工的权益保护
- 老员工如果认为公司的开除决定不合法或不合理，有权通过劳动仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。在劳动仲裁或诉讼过程中，老员工可以要求公司提供开除决定的合法依据和程序证明，以及要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金等。
总结与建议：
公司开除老员工并非随意行为，而是必须基于合法的理由和遵循法定的程序。老员工也应了解自己的权益，并在必要时采取法律手段维护自身权益。若您作为老员工面临被开除的情况，或您作为公司方考虑开除老员工，均建议先咨询专业律师（即我本人），以确保决策的合法性和合理性，并防范潜在的法律风险。