公司没有权利随意公开开除员工。这一结论是基于我国《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规的明确规定。以下是对此问题的详细分析：
一、法定解除劳动合同的情形与程序
过错性辞退：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者在特定情形下（如试用期间不符合录用条件、严重违反规章制度、严重失职等），用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。但即便如此，用人单位也需确保解除决定的合法性，并遵循一定的程序，如告知劳动者解除的事实、理由及依据，并给予陈述和申辩的机会。公开开除并非法定程序的一部分，且可能侵犯劳动者的名誉权等合法权益。
非过错性辞退与经济性裁员：
- 对于非过错性辞退（如劳动者患病或非因工负伤、不能胜任工作等）和经济性裁员（如企业破产重整、生产经营困难等），用人单位需提前通知劳动者，并支付经济补偿。这些情形下，公开开除同样不是法定程序，且可能引发不必要的法律纠纷。
二、公开开除的法律风险
侵犯名誉权：
- 公开开除可能涉及对劳动者名誉的贬损，尤其是当开除决定缺乏充分证据或程序不当时。劳动者有权要求用人单位停止侵害、恢复名誉、消除影响，并可能要求赔偿损失。
违法解除劳动合同的后果：
- 如果公司随意开除员工，即没有法定情形或未遵循法定程序，属于违法解除劳动合同。在此情况下，员工有权要求公司继续履行劳动合同，或者要求公司按照经济补偿标准的二倍向其支付赔偿金。赔偿金的计算方式依据员工在本单位工作的年限，每满一年支付两个月工资的标准，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付一个月工资的经济补偿。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
三、建议与注意事项
遵循法定程序：
- 用人单位在解除劳动合同时，应严格遵循法定程序，确保解除决定的合法性和公正性。避免公开开除等可能引发法律纠纷的行为。
保护劳动者权益：
- 在解除劳动合同过程中，用人单位应尊重劳动者的合法权益，如告知权、陈述申辩权等。确保解除决定基于充分证据和合理理由。
寻求法律帮助：
- 如果用人单位或劳动者在解除劳动合同过程中遇到法律问题或纠纷，建议及时向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。
综上所述，公司没有权利随意公开开除员工。在解除劳动合同时，用人单位应严格遵守相关法律法规和程序要求，确保解除决定的合法性和公正性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。