仲裁私下和解了，在双方已经履行和解协议且无争议的情况下，可以视为结案。不过，具体是否算作正式结案，还需从以下几个角度来详细分析：
和解协议的履行情况：
- 如果双方私下达成和解协议，并且已经按照协议内容完全履行了各自的义务，比如支付了赔偿金、恢复了劳动关系等，且双方对此均无异议，那么在这种情况下，可以认为该劳动仲裁案件已经得到了实质性的解决，可以视为结案。
- 反之，如果和解协议签订后，一方或双方并未按照协议履行义务，或者履行过程中出现了新的争议，那么该案件就不能视为已经结案。此时，任何一方都有权向劳动争议仲裁委员会申请恢复仲裁程序，或者就新的争议提起新的仲裁申请。
和解协议的法律效力：
- 私下和解协议在双方自愿、平等、公平的基础上达成，且内容不违反法律法规的强制性规定，那么该协议是具有法律效力的。一旦双方履行了协议，就意味着双方已经放弃了通过仲裁或诉讼等法律途径解决争议的权利。
- 但需要注意的是，如果和解协议的内容存在违法或显失公平的情况，比如一方利用优势地位迫使另一方接受不合理的条件，那么该协议可能被认定为无效或可撤销。在这种情况下，即使双方已经“和解”，也不能视为案件已经结案。
仲裁程序的正式结案：
- 从仲裁程序的角度来看，真正的结案通常需要劳动争议仲裁委员会出具正式的裁决书或调解书，并明确载明案件已经处理完毕。如果双方私下和解后，没有向仲裁委员会申请出具正式的法律文书，那么从程序上来说，该案件可能并未被正式结案。
- 不过，在实际操作中，如果双方已经私下和解并履行了协议，且没有争议，那么通常可以向仲裁委员会申请撤回仲裁申请或申请终止仲裁程序。仲裁委员会在审查后，如果认为符合相关规定，会出具相应的法律文书，确认案件已经处理完毕。
建议：
- 为了确保私下和解的合法性和有效性，建议双方在和解前咨询专业律师的意见，确保和解协议的内容合法、公平、合理。
- 和解协议签订后，双方应严格按照协议内容履行义务，避免出现新的争议。
- 如果可能的话，建议双方在和解后向劳动争议仲裁委员会申请出具正式的法律文书，以确认案件已经处理完毕，避免后续出现不必要的麻烦。
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