结论概述：当事人在检察机关申请立案监督的过程中，若公安机关将案件移送审查起诉，这并不影响立案监督的继续进行。当事人应继续配合检察机关的监督工作，并关注案件的审查起诉进展。以下是对此问题的详细分析：
一、立案监督与审查起诉的关系
立案监督：是检察机关对公安机关的立案活动进行的法律监督，旨在确保公安机关依法、及时、准确地立案侦查，保护公民的合法权益。当事人在认为公安机关应当立案而不立案时，可以向检察机关申请立案监督。
审查起诉：是公安机关将侦查终结的案件移送检察机关，由检察机关对案件进行审查，决定是否对犯罪嫌疑人提起公诉的诉讼活动。这是刑事诉讼程序中的一个重要环节。
两者关系：立案监督与审查起诉是刑事诉讼程序中的两个不同阶段，但它们之间存在紧密的联系。立案监督是审查起诉的前置程序之一，旨在确保案件能够进入审查起诉阶段。而审查起诉则是对立案监督结果的进一步检验和确认。
二、公安机关移送审查起诉对立案监督的影响
不影响监督继续：公安机关将案件移送审查起诉，并不意味着立案监督的结束。相反，检察机关在审查起诉阶段仍然可以对公安机关的立案活动进行监督，确保案件的合法性和公正性。
监督内容变化：在审查起诉阶段，立案监督的内容可能更加侧重于对案件事实、证据和法律适用的审查，以确保检察机关能够作出正确的起诉决定。
三、当事人的应对策略
继续配合监督：当事人应继续配合检察机关的立案监督工作，提供必要的证据和材料，协助检察机关查明案件事实。
关注审查起诉进展：当事人应密切关注案件的审查起诉进展，了解检察机关对案件的处理意见。如果检察机关决定提起公诉，当事人应做好应诉准备；如果检察机关决定不起诉，当事人可以了解不起诉的理由，并考虑是否需要进一步维权。
寻求法律帮助：如果当事人在立案监督或审查起诉过程中遇到法律问题或困惑，可以及时向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。
四、可能的法律后果
如果检察机关认为公安机关立案不当：在审查起诉阶段，如果检察机关认为公安机关立案不当（如应当立案而未立案、不应当立案而立案等），可以要求公安机关说明理由，并根据情况作出相应的处理决定，如通知公安机关立案、撤销案件等。
如果检察机关认为案件符合起诉条件：如果检察机关认为案件事实清楚、证据确实充分、法律适用正确，符合起诉条件，将依法对犯罪嫌疑人提起公诉。
如果检察机关认为案件不符合起诉条件：如果检察机关认为案件不符合起诉条件（如证据不足、法律适用错误等），将依法作出不起诉决定。当事人如果对不起诉决定不服，可以依法申请复议或向上一级检察机关申诉。
总之，当事人在检察机关申请立案监督的过程中，若公安机关将案件移送审查起诉，应继续配合检察机关的监督工作，并关注案件的审查起诉进展。如有任何法律问题或困惑，可以直接向我咨询。