结论前置：若公安机关将刑事案件移送给检察机关时，诉讼时效（即追诉时效）已到，检察机关一般不可以起诉该案件。但需注意特殊情况下追诉时效的延长或不受限制。
一、追诉时效的基本概念与法律规定
追诉时效是刑法规定的对犯罪分子追究刑事责任的有效期限。根据《中华人民共和国刑法》第八十七条的规定，不同法定最高刑的犯罪，其追诉时效期限也不同。一旦犯罪已过追诉时效期限，司法机关将不再追究其刑事责任。
二、追诉时效的法律后果
侦查阶段：若公安机关在侦查阶段发现案件已超过追诉时效，通常会直接作出撤销案件的决定，不会将案件移交检察机关。
审查起诉阶段：若案件已移送至检察机关，且检察机关在审查起诉阶段发现犯罪已过追诉时效期限，根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第十六条的规定，检察机关会作出不起诉决定。
审判阶段：虽然本问题不直接涉及审判阶段，但为全面理解追诉时效的法律后果，需指出，若案件已进入审判阶段，且法院发现犯罪已过追诉时效期限，法院会裁定终止审理或宣告被告人无罪。
三、特殊情况下的追诉时效
尽管一般情况下追诉时效过期后不再追究责任，但也存在特殊情况：
逃避侦查或审判：若犯罪分子在人民检察院、公安机关、国家安全机关立案侦查或者在人民法院受理案件以后逃避侦查或者审判，其追诉时效将不受限制。这意味着，即使案件已超过通常的追诉时效期限，司法机关仍可追究其刑事责任。
被害人控告未立案：若被害人在追诉期限内提出控告，而人民法院、人民检察院、公安机关应当立案而不予立案，追诉时效同样不受限制。
在追诉期限以内又犯罪：若犯罪分子在追诉期限以内再次犯罪，前罪的追诉期限将从犯后罪之日起重新计算，即“时效中断”。
四、司法实践中的应用与建议
在司法实践中，公安机关、检察机关和法院会严格遵循追诉时效的规定。若案件已超过追诉时效期限，且不存在上述特殊情况，司法机关将不再追究犯罪分子的刑事责任。因此，对于您提出的问题，若公安机关在移送案件时诉讼时效已到，且不存在特殊情况，检察机关将依法作出不起诉决定。
五、进一步思考与行动建议
核实追诉时效：若您对案件的追诉时效有疑问，建议核实相关法律规定及案件具体情况，以确定是否已超过追诉时效期限。
咨询专业律师：虽然本回答已提供了全面的法律分析，但每个案件的具体情况可能有所不同。若您需要更具体的法律建议或帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供个性化的法律服务。
关注特殊情况：若案件存在逃避侦查或审判、被害人控告未立案或在追诉期限以内又犯罪等特殊情况，追诉时效可能不受限制。在这种情况下，即使案件已超过通常的追诉时效期限，司法机关仍可能追究犯罪分子的刑事责任。