在劳务关系（这里我们主要讨论雇佣关系，因其与劳务关系在责任划分上有相似性）中，当员工生病时，责任的承担是一个需要综合考虑多方面因素的问题。以下是对此问题的详细解答：
一、责任承担的基本原则
员工自行承担：
- 如果员工生病并非由于工作原因，而是个人健康问题或疾病自然发生（如普通感冒、家庭遗传病等），那么主要责任应由员工自行承担。这包括医疗费用、康复费用以及因病导致的收入损失等。
雇主承担责任：
- 职业病：若员工所患疾病被认定为职业病，即与工作过程中的职业危害因素有直接关系，雇主需承担主要责任。这包括支付诊断与治疗费用、保障员工治疗期间待遇不变，以及根据劳动能力丧失情况给予补偿和安置。
- 因工负伤引发疾病或病情加重：员工在工作过程中因事故伤害引发疾病，或原有疾病因工作原因加重，雇主也需承担相应责任，涵盖医疗费用、误工费用等。
- 工伤及视同工伤：员工因工受伤或在工作时间和工作岗位突发疾病死亡（或在48小时内抢救无效死亡），均视为工伤，雇主需按工伤保险规定支付相关待遇。
二、雇主的具体义务
及时救助义务：
- 无论员工生病原因如何，雇主在员工工作期间突发疾病时，均有责任立即提供必要的救助措施，如呼叫急救服务、送往医疗机构、通知家属等。
病假与工资：
- 对于非职业病或非因工负伤的疾病，雇主应根据员工病情和医疗证明给予合理病假。
- 若雇佣合同或公司规章制度中有明确约定，雇主应按约定支付病假工资；无约定时，则需遵循当地劳动法规。
医疗费用支付：
- 对于因工作原因导致的疾病，雇主需承担员工的医疗费用。此外，部分国家或地区法律可能要求雇主为员工购买医疗保险以覆盖工作相关疾病。
工伤申报与赔偿：
- 对于工伤或视同工伤的情况，雇主有义务为员工申报工伤，并按工伤保险待遇项目和标准支付费用。未参加工伤保险的雇主需自行承担这些费用。
三、特殊情况下的责任划分
合同约定：
- 如果雇佣双方在合同中对员工生病期间的责任和义务有特别约定，且该约定不违反法律法规强制性规定，则双方应依约执行。例如，合同中可能约定了商业医疗保险的报销范围等。
第三方责任：
- 若员工疾病系由第三方行为导致，员工有权请求第三方承担侵权责任。同时，员工也可请求雇主给予补偿（如果雇主有过错或出于人道主义考虑），雇主在补偿后有权向第三方追偿。
四、法律依据与实际操作
- 在中国，关于雇佣关系中员工生病的责任划分，主要依据《中华人民共和国劳动法》、《中华人民共和国劳动合同法》以及相关的工伤保险条例等法律法规。
- 在实际操作中，雇主应依法履行救助、支付医疗费用、提供病假及工资等义务。同时，员工也应根据自身情况承担相应的责任，如及时告知雇主病情、提供医疗证明等。
综上所述，雇佣关系中员工生病时的责任和义务承担需综合考虑生病原因、雇佣合同约定及当地劳动法规。雇主应依法履行相关义务，而员工也需根据自身情况承担相应的责任。在处理具体案件时，应详细分析案情，确保法律责任得到准确界定与承担。