结论前置：公司这种做法违反了劳动法相关规定，您有权通过合法途径维护自身权益。以下从不同角度为您详细分析：
关于双休及加班的法律规定
- 根据我国《劳动法》第三十六条规定，国家实行劳动者每日工作时间不超过八小时、平均每周工作时间不超过四十四小时的工时制度。第三十八条明确规定，用人单位应当保证劳动者每周至少休息一日。如果公司原本承诺双休，即每周休息两天，这是符合法律对劳动者休息权保障的基本要求的。
- 当公司安排员工在休息日加班时，依据《劳动法》第四十四条，有下列情形之一的，用人单位应当按照下列标准支付高于劳动者正常工作时间工资的工资报酬：（二）休息日安排劳动者工作又不能安排补休的，支付不低于工资的百分之二百的工资报酬。也就是说，公司安排您在双休日加班，正常情况下应该先安排调休，如果不能安排调休的，就需要支付您不低于工资百分之二百的加班工资。公司既不给加班工资又不给调休的做法，明显违反了这一规定。
公司让请假的处理方式及应对
- 公司让您请假来弥补其不合理的安排，这种做法是不合理的。请假通常是劳动者因个人原因无法正常工作而向用人单位提出的申请，是劳动者的一种权利，但不应成为公司规避支付加班工资和安排调休义务的手段。
- 您有权拒绝公司这种不合理的要求。您可以先与公司进行友好协商，向公司明确指出其做法违反了劳动法的相关规定，要求公司按照法律规定支付加班工资或者安排调休。在协商过程中，您可以收集好相关证据，如考勤记录、与公司沟通的聊天记录、邮件等，以证明您存在加班的事实以及公司未依法处理的情况。
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行查处，责令公司改正违法行为，支付您应得的加班工资或者安排调休。
- 您还可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。劳动争议仲裁是解决劳动纠纷的一种重要方式，您可以在仲裁申请中明确您的诉求，如要求公司支付加班工资、安排调休等，并提交相关证据支持您的主张。如果对仲裁裁决不服，您还可以向人民法院提起诉讼。
在处理这类问题时，您要保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。如果您还有其他疑问或需要进一步的帮助，随时都可以向我咨询。