结论前置：在不要抚养费后再起诉，法院是否支持需视具体情况而定，但总体而言，只要符合法定条件并提供充分证据，法院通常会支持起诉方的合理诉求。
一、法律背景与原则
根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条的规定，离婚后或分居期间，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。这一义务不因父母婚姻状况的改变而消除，也不因一方在某一时刻表示“不要抚养费”而免除。父母对子女有抚养教育的义务，这是法律的基本原则。
二、不同情境下的法律分析
父母离婚的情况
- 协议变更与诉讼：若离婚时双方已就抚养费达成协议，但后续一方反悔并表示“不要抚养费”，这并不构成法律上的有效变更。若另一方因此遭受经济损失或子女生活受到影响，仍有权向法院提起诉讼，要求对方支付抚养费。法院会根据子女的实际需要、父母的负担能力和当地生活水平等因素，判决合理的抚养费数额。
- 特殊情况调整：即使已有协议或判决，若子女因生活、学习、医疗等导致费用增加，仍可提出超过原数额的合理要求。此时，即使之前表示过“不要抚养费”，法院也会根据实际情况予以支持。
父母未离婚但分居的情况
- 共同义务与诉讼权利：即使父母未离婚只是分居，他们仍都有抚养孩子的义务。如一方不履行抚养义务，另一方有权向法院提起诉讼，要求对方承担抚养费用。法院会综合考虑各种因素，如子女的实际需要、父母的负担能力等，作出公正判决。
三、起诉方需承担的举证责任
无论在哪种情况下，起诉方都需要承担一定的举证责任，以证明其诉求的合理性。这包括：
- 证明亲子关系：提供出生证明、亲子鉴定报告等，证实对方与孩子之间的父母子女关系。
- 证明未履行义务：通过聊天记录、通话录音等证据，证明对方拒绝支付抚养费的事实。
- 证明实际需求：提供孩子生活费用（学费、医疗费、生活费等）的相关票据，说明实际支出情况。
- 证明对方负担能力：提供对方的收入证明、工作证明等材料，证明其有能力支付抚养费。
四、法律建议与风险提示
- 法律建议：若您遇到对方不愿承担抚养费的情况，建议首先尝试与对方协商解决。若协商无果，可收集相关证据并向法院提起诉讼。在诉讼过程中，务必提供充分、真实的证据以支持您的诉求。
- 风险提示：虽然法律赋予了起诉方寻求抚养费的权利，但诉讼过程可能耗时较长且结果具有不确定性。因此，在决定起诉前，请务必权衡利弊并做好充分准备。
总结：不要抚养费后再起诉，法院是否支持需视具体情况而定。但无论如何，父母对子女的抚养义务是法律的基本原则，不会因一时的表示而免除。若您遇到相关问题，可直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。