公立医院与其他医院签订检测协议，在符合法律法规和行业规定的前提下，是合法的。以下从多个角度对此问题进行分析：
一、法律法规层面
合同自由原则：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，民事主体有权依法自主订立合同。公立医院作为独立的民事主体，有权与其他医院就检测服务签订协议，只要该协议内容不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，即具有法律效力。
行业规定与监管：公立医院在签订检测协议时，还需遵守医疗卫生行业的特定规定和监管要求。例如，检测项目应符合国家卫生健康委员会等部门发布的诊疗指南和规范，检测设备应经过合法认证，检测人员应具备相应的资质等。只要公立医院在签订协议时严格遵守这些规定，其签订的检测协议就是合法的。
二、实际操作层面
协议内容合法性：公立医院与其他医院签订的检测协议，应明确双方的权利和义务，包括检测项目、检测标准、检测费用、检测结果报告等关键条款。这些条款应合法、合理、明确，避免产生歧义或纠纷。
资质与能力匹配：公立医院在签订检测协议时，应确保自身具备提供检测服务所需的资质和能力。例如，如果检测项目涉及特殊技术或设备，公立医院应确保自身具备相应的技术条件和人员资质，以确保检测结果的准确性和可靠性。
公平竞争与反垄断：公立医院在签订检测协议时，还应遵守公平竞争和反垄断的相关规定。不得利用自身优势地位，通过签订不公平的协议条款来排除或限制其他医院的竞争，损害市场秩序和消费者权益。
三、可能存在的风险与防范
法律风险：如果公立医院与其他医院签订的检测协议违反法律法规或行业规定，可能面临法律制裁和行政处罚。因此，公立医院在签订协议前，应进行充分的法律审查和风险评估，确保协议内容的合法性和合规性。
声誉风险：如果公立医院提供的检测服务存在质量问题或引发纠纷，可能对其声誉造成负面影响。因此，公立医院应加强内部管理，提高检测服务的质量和效率，确保检测结果的准确性和可靠性。
合同纠纷风险：在协议履行过程中，如果双方因条款理解、费用支付等问题产生纠纷，可能影响合作关系的稳定性和持续性。因此，公立医院在签订协议时，应明确纠纷解决机制和方式，以便在发生纠纷时能够及时、有效地解决。
总结与建议：公立医院与其他医院签订检测协议是合法的，但前提是必须遵守相关法律法规和行业规定。在签订协议前，公立医院应进行充分的法律审查和风险评估，确保协议内容的合法性和合规性；在协议履行过程中，应加强内部管理，提高检测服务的质量和效率，确保检测结果的准确性和可靠性；同时，还应明确纠纷解决机制和方式，以便在发生纠纷时能够及时、有效地解决。如果您在合同纠纷或医疗医患领域有任何法律问题，可以直接向我咨询。