在执行案件中，当双方当事人达成执行和解协议并履行完毕后，结案的过程是明确且具有法律效力的。以下是对这一过程的详细解析：

一、执行和解协议履行完毕的结案方式

1. 法律依据： 根据《最高人民法院关于人民法院执行工作若干问题的规定（试行）》第64条第1款，当和解协议确定的义务全部履行完毕后，案件可以以执行完毕的方式结案。

2. 具体流程：

   • 提交申请：申请执行人需向法院提交书面申请，并附上证明和解协议已履行完毕的相关材料，如收款凭证、交付财物的证明等。
   • 法院审查：法院会对申请执行人提交的材料进行审查，确认和解协议确实已全部履行完毕。
   • 制作结案裁定书：审查确认无误后，法院会制作结案裁定书，明确案件已执行完毕。
   • 送达裁定书：法院会将结案裁定书送达各方当事人，送达完成且无异议或上诉后，案件即告结案。

二、其他可能的结案方式（虽非直接由履行完毕触发，但为完整理解执行和解结案体系而提及）

1. 终结执行：

   • 适用情形：除了和解协议履行完毕外，若申请执行人因受欺诈、胁迫达成和解协议后申请恢复执行原生效法律文书，并出现撤销申请等法定情形，也可终结执行。
   • 流程：法院对终结执行的情形进行审查，符合条件的作出终结执行裁定书，并写明理由和法律依据，送达当事人。

2. 终结本次执行程序：

   • 适用情形：和解协议约定的履行期限较长，且被执行人有履行诚意和能力，但短期内难以确定是否能完全履行义务时，可终结本次执行程序。
   • 流程：法院需严格审查案件是否符合特定条件（如已发出执行通知、责令报告财产等），符合条件的裁定终结本次执行程序，并定期查控被执行人财产。若被执行人不履行协议，申请执行人可申请恢复执行。

3. 执行和解协议提交备案（非直接结案方式，但为执行和解程序的一部分）：

   • 流程：双方当事人达成和解协议后，即使未履行完毕，也应将协议提交给执行法院备案。法院会将协议入卷留存，并在执行案件中作相应处理标记。和解期间，执行程序暂时中止；若被执行人不履行协议，申请执行人可申请恢复执行原生效法律文书。

三、注意事项

• 遵循法定程序：执行和解虽灵活，但必须遵循法定程序和法律规定，确保和解的合法性和有效性。
• 咨询专业律师：建议在进行执行和解时咨询专业律师，以确保和解协议的条款清晰、合法，并充分保障自身权益。
• 认真履行协议：和解协议一旦达成并具有法律效力，双方当事人必须认真履行。否则，可能会面临相应的法律责任，如被恢复执行原生效法律文书或承担违约责任等。

综上所述，当执行和解协议履行完毕后，申请执行人需向法院提交书面申请及证明材料，法院审查确认无误后制作结案裁定书并送达各方当事人，案件即告结案。这一过程确保了执行程序的公正、高效和有序进行。