建议优先考虑通过劳动仲裁等法律途径解决手指断了的赔偿问题，而非私了，但具体选择还需结合实际情况判断。以下从不同角度为你详细分析：

从赔偿金额的合理性角度

1. 私了：私了时，赔偿金额往往由双方自行协商确定。如果用人单位比较通情达理，愿意承担相应的赔偿责任，且提出的赔偿金额能够覆盖你的实际损失，包括医疗费、误工费、护理费、残疾赔偿金（如果构成伤残）等，那么私了可能是一个相对快捷的解决方式。然而，由于缺乏专业的评估和计算，私了时赔偿金额可能存在不合理的情况。比如，用人单位可能故意压低赔偿金额，而你由于缺乏法律知识和谈判技巧，可能无法争取到应有的赔偿。
2. 劳动仲裁：劳动仲裁机构会根据相关法律法规和实际情况，对赔偿金额进行公正、合理的裁决。他们会综合考虑你的工资水平、伤残等级、治疗费用等因素，确保你能够获得应有的赔偿。例如，根据《工伤保险条例》及相关规定，职工因工致残被鉴定为不同等级的，会享受相应的一次性伤残补助金、伤残津贴等待遇。通过劳动仲裁，你可以确保这些法定赔偿项目得到落实，避免因私了而遭受经济损失。

从法律保障的角度

1. 私了：私了协议虽然在一定程度上具有法律效力，但如果协议内容存在违法或显失公平的情况，或者一方在签订协议后反悔，那么协议可能无法得到有效执行。此外，私了协议往往无法涵盖所有可能的法律风险和后续问题，比如后续治疗费用、康复费用等。
2. 劳动仲裁：劳动仲裁裁决具有法律强制力，一旦裁决生效，用人单位必须履行赔偿义务。如果用人单位不履行，你可以向人民法院申请强制执行。这为你提供了更强的法律保障，确保你的合法权益得到切实维护。

从解决纠纷的效率和成本角度

1. 私了：私了通常能够更快地解决纠纷，减少时间和精力的消耗。然而，如果双方在赔偿金额上存在较大分歧，或者一方在签订协议后反悔，那么私了可能无法真正解决问题，反而可能导致纠纷进一步升级。
2. 劳动仲裁：劳动仲裁程序虽然相对复杂一些，需要一定的时间和精力来准备材料和参加仲裁活动，但它能够提供一个公正、透明的解决纠纷的平台。而且，劳动仲裁不收取费用，降低了你的维权成本。如果仲裁结果不满意，你还可以依法向人民法院提起诉讼，进一步维护自己的合法权益。

实际操作建议

1. 先评估伤情和损失：在决定私了还是仲裁前，建议你先进行伤情鉴定和损失评估。这有助于你更准确地了解自己的实际损失和应得的赔偿金额。
2. 尝试协商：在了解了自己的损失后，你可以先与用人单位进行协商，尝试通过私了的方式解决纠纷。如果协商成功，记得签订书面协议，并明确赔偿金额、支付方式等关键条款。
3. 准备仲裁材料：如果协商无果，或者你认为私了赔偿金额不合理，那么你可以开始准备劳动仲裁材料。这包括劳动合同、工资单、医疗证明、伤情鉴定报告等证据材料。
4. 寻求法律援助：如果你对劳动仲裁程序不熟悉或者担心自己的权益无法得到保障，那么你可以寻求法律援助或咨询专业律师。我可以为你提供专业的法律建议和帮助，确保你的合法权益得到切实维护。

总之，在面对手指断了这样的工伤纠纷时，建议你优先考虑通过劳动仲裁等法律途径解决。当然，具体选择还需结合你的实际情况和用人单位的态度来判断。如果你有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。